Vorob'evaEA.Vorob'evaEV_Lineinaya__algebra,Vectornaya_algebra,Analit_geometriya

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид 5

x - x0

=

y - y0

=

z - z0

, где точка

M 0 (x0 , y0 , z0 )Îl , а

m

n

p

R

= {m, n, p}–

направляющий вектор прямой l . Точку M 0 (x0 , y0 , z0 )Îl выберем абсолютно произвольно на прямой

вектор S

l , т. е. найдем одно из бесчисленного множества решений системы уравнений

x - 3y + 2 = 0

.

2 y - z +1 = 0

Положим

x0 = 1,

тогда из первого уравнения

y0

= 1 ,

а из второго

z0 = 3 ,

т. е. M 0 (1, 1, 3)Î l . Направляющий вектор

R

= {1, - 3, 0}

R

-1}:

прямой l , как и ранее, найдем с помощью векторного произведения векторов N1

и N2 = {0, 2,

R

R

R

R

R

R

i

j

k

R

R

R

{3, 1, 2}.

S2

= N1

´ N 2 =

1 - 3 0

=

3i

+ j

+ 2k =

0

2

-1

R

Подставим координаты точки M

0

и вектора S в уравнения 5 .

Ответ:

x -1

=

y -1

=

z - 3

.

3

1

2

Задача 7. Найти точку A′ , симметричную точке A{5, 2, -1}относительно плоскости α :

2x − y + 3z + 23 = 0 .

Решение. Точка A

′

–

симметрична точке

A относительно плоскости

α , если лежит на прямой

′

^ (α )

и на

AA

одинаковом расстоянии от плоскости α 10 , т. е.

AM = MA′ . Проведем через точку A прямую AA′ , приняв за ее

R

R

A(5, 2,−1)

R

направляющий

вектор

S = {m, n, p}

вектор

N = {2, -1, 3}

-

нормаль

к

плоскости

α :

N

x = 5 + 2t

α

x - x0

y - y0

z - z0

′

x

- 5

y - 2

z +1

M

=

=

5

. (AA )

=

=

= t или y

= 2

- t 6 –

параметрические

m

n

p

2

-1

3

= -1

+ 3t

z

A′

(AA′) . Решив совместно уравнения плоскости α и прямой

AA′ , найдем точку M . Подставим x ,

y ,

z ,

уравнения прямой

выраженные

через

параметр

t

в уравнениях

AA′ ,

в

уравнение

α ,

получим

2(2t + 5)- (-t + 2)+ 3(3t -1)+ 23 = 0 .

14t = −28 t = −2 – это значение параметра

t ,

соответствующее точке

M , подставим его в параметрические уравнения

прямой 6 , получим

M {1, 4, - 7}– середину отрезка AA′ .

По формулам координат середины отрезка получим

xM =

xA

+ xA′

,

где

1 =

5 + xA′

, откуда xA′ = -3 ,

2

2

yM =

yA

+ yA′

,

где

4 =

2 + yA′

, откуда

y A′

= 6 ,

2

2

zM =

z A + z A′

, где

-

7 =

-1+ z A′

, откуда z A′

= -13 ,

2

2

′

-13}.

Ответ: A {- 3, 6,

Замечание: точка M является ортогональной проекцией точки A на плоскость α .

Задача 8. Найти проекцию точки A{4, 3, 10}на прямую l :

x -1

=

y - 2

=

z - 3

.

2

4

5

A{x0 , y0 , z0 }

Решение.

Чтобы спроектировать точку A на прямую (l ) в пространстве, проведем плоскость

(α )

(l ) :

A(x - x0 )+ B(y - y0 )+ C(z - z0 ) = 0 ,

l

через

точку

A

перпендикулярно

прямой

приняв

за

A′

R

p}

S {m, n,

R

R

2(x - 4)+ 4(y - 3)+ 5(z -10) = 0

нормаль к плоскости N

= {A, B, C} - направляющий вектор прямой S = {m, n, p}= {2, 4,5} (α ):

или (α ): 2x + 4 y + 5z − 70 = 0 .

Искомая

точка

A¢ –

точка

пересечения

прямой l

и

плоскости α . Решим

систему их уравнений (α ):

x -1

y - 2

z - 3

x = 1 + 2t

2x + 4 y + 5z − 70 =

0 ,

l :

=

=

= t или

l : y = 2 + 4t

6 .

2

4

5

z = 3 + 5t

Подставим

x ,

y , z

из уравнений прямой

6

в уравнение плоскости: 2(1 + 2t )+ 4(2 + 4t )+ 5(3 + 5t )- 7 = 0 , откуда

45t = 45 , или t A′ = 1 , или x A′ = 1 + 2 ×1 = 3 , или y A′ = 2 + 4 ×1 = 6 ,

z A′

= 3 + 5 ×1 = 8 .

Ответ: A′{3, 6, 8}.

Задача 9.

Найти проекцию прямой l :

x

=

y - 4

=

z +1

на плоскость α : x − y + 3z + 8 = 0 .

4

3

- 2

Решение.

Ортогональной проекцией прямой (l )

на плоскость (α ) называется линия пересечения плоскости (α ) и

3x - 4 y +16 = 0

уравнения прямой к общему виду:

(приравняв попарно отношения) .

x

+ 2z + 2 = 0

l

Теперь составим уравнение пучка плоскостей 2 , проходящих через прямую (l ) :

3x - 4 y +16 + λ(x + 2z + 2) = 0 , и выделим из этого пучка плоскость (α ′) , перпендикулярную

α ′

l ′

плоскости (α ). Воспользуемся условием перпендикулярности двух плоскостей:

A1 × A2

+ B1 × B2

+ C1 ×C2 = 0 , подчинив ему уравнение плоскости (α ): x − y + 3z + 8 = 0 и

α

(l ′) 2x - 4 y - 2z +14 = 0

– это ответ.

x - y + 3z + 8 = 0

3.7 Криволинейные поверхности