II. Механика и элементы специальной теории относительности

1. Кинематика поступательного и вращательного движения материальной точки

Механика занимается изучением механического движения тел, заклю­ча­ющегося в изменении пространственного положения тел или их частей с течением времени. Классическая механика изучает движение макроскопических тел, движущихся со скоростями много меньше скорости света. В основе классической механики лежат законы Ньютона.

Кинематика занимается математическим описанием различных видов движе­ния, не интересуясь причинами, вызвавшими это движение. При описании движения тел широко используются упрощённые модели: материальная точка, абсолютно твёрдое тело и т.д.

Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Абсолютно твёрдым телом называется тело, деформацией которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных между собой.

1.1. Система отсчёта. Траектория, перемещение и путь материальной точки

Положение тела в пространстве можно указать только по отношению к другим телам. Поэтому для математического описания движения тел вводится система отсчёта. Системой отсчёта называется система координат, связанная с телом отсчёта и снабжённая синхронизированными часами. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат, хотя для решения конкретной задачи может быть использована любая другая.

Положение материальной точки характеризуется радиусом-вектором , проведённым из начала координат в данную точку, либо проекциями радиуса-вектора на координатные оси:

.

Движение материальной точки задано, если известна зависимость координат точки от времени, т.е.

.

Данные уравнения являются кинематическими уравнениями движения материальной точки, или законом движения точки. В процессе движения конец радиуса-вектора, связанный с точкой, описывает в пространстве кривую, называемую траекторией движения материальной точки. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения.

Рис. 1

Перемещением материальной точки назы­ва­ют вектор, проведённый из начальной точки в конечную точку траектории (рис. 1).

Вектор может быть выражен через пере­ме­ще­ния вдоль координатных осей:

Путь материальной точки S₁₂ - это сумма длин всех участков траектории, пройденных точкой за про­межуток времени t₁₂. Согласно определению, путь не может быть отрицательной величиной (S₁₂ > 0).

При рассмотрении движения тела относительно двух различных инерциальных систем отсчета используют классический закон сложения скоростей.

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы и скорости самой движущейся системы относительно неподвижной :

.

1.2. Скорость материальной точки

Скорость - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела в пространстве, равная перемещению тела за единицу времени.

Различают среднюю и мгновенную скорости.

- средняя скорость,

- мгновенная скорость,

- среднее значение модуля скорости.

Вектор средней скорости направлен так же, как и вектор перемещения . Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения так же, как вектор элементарного перемещения: . Так как , где dS - элементарный путь, то модуль мгновенной скорости равен производной пути по времени:

.

В декартовой системе координат скорость можно представить через её проекции на оси:

;

.

1.3. Ускорение материальной точки

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени, равная приращению скорости за единицу времени.

- среднее ускорение,

- мгновенное ускорение.

Вектор ускорения может быть представлен через его проекции на координатные оси: , где , , .

.

Часто используется представление ускорения через две составляющие: тангенциальное и нормальное ускорения (рис. 2):

;

.

Т

Рис. 2

ангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории:

, где - производная модуля скорости, - единичный вектор касательной.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и направлено по нормали к траектории к центру кривизны траектории в данной точке.

, R - радиус кривизны траектории, - единичный вектор нормали.

.

1.4. Прямая и обратная задачи кинематики

Все приведённые выше соотношения позволяют решить прямую задачу кинематики: по известному закону движения найти кинематические характеристики (скорости и ускорения). Очень часто необходимо решить обратную задачу кинематики: по кинематическим характеристикам найти закон движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:

; ; ; ; ; .

Виды движений

1) равномерное прямолинейное движение: ;

2) равнопеременное прямолинейное движение:

;

3) равномерное движение по окружности ;

4) равнопеременное криволинейное движение: ;

5) неравномерное криволинейное движение .

1.5. Угловые перемещение, скорость и ускорение.

При вращении тела, составляющие его материальные точки движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения. Положение тела в пространстве определяется углом поворота тела из некоторого начального положения. Для характеристики вращательного движения вводятся следующие математические характеристики (рис. 3):

1. 

   Рис.3

   
   Угловое перемещение - вектор, численно равный углу поворота тела за время и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта.

2. Угловая скорость - характеризует быстроту и направление вращения тела, равна производной угла поворота по времени и направлена вдоль оси вращения как угловое перемещение.

; ; .

3. Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости с течением времени, равно первой производной угловой скорости и направлено вдоль оси вращения. ; ; .

Закон вращения тела это . При равномерном вращении:  = 0  = const,  = t. При равнопеременном вращении:  = const,  = ₀+t, .

Для характеристики равномерного вращательного движения используются также такие величины, как период вращения и частота вращения.

Период вращения Т - промежуток времени, в течение которого тело, равномерно вращающееся с угловой скоростью , совершает один оборот (=2).

Частота вращения n - количество оборотов, совершаемых телом за единицу времени. .

1.6. Связь между векторами угловых и линейных кинематических характеристик

Рис.4

В соответствии с рис. 4 можно записать:

2. Динамика поступательного и вращательного движения

2.1. Законы Ньютона