Решение:

П о условию задачи АВ=а . Точка О – точка пересечения диагоналей является центром окружности описанной около прямоугольника, т.к. по свойству прямоугольника ОВ=ОС=ОD=ОА. ОВ – радиус описанной окружности.

Рассмотрим . Он равнобедренный, т.к. ОВ=ОА. Кроме того, . Поэтому – равносторонний. ОВ=АВ=а.

Ответ: R=а

I вариант (9 класс, 2002г.)

1. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

Решение:

Найдём значения неизвестного, обращающие числитель и знаменатель в 0. Имеем . Применим метод интервалов:

П рименив метод интервалов, установим, что решением неравенства являются все

Ответ: Наименьшее целое решение неравенства : .

2. При каких а парабола пересекает ось Ox в двух точках, расположенных по разные стороны от начала системы координат?

Решение:

Т.к. коэффициент при x² равен 1>0, то ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Оx в двух точках, значит, D>0. Наконец, эти точки расположены по разные стороны от начала системы координат, значит, .

И так,

Ответ:

3. Товарный поезд был задержан в пути на 12 минут, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/час. Найти первоначальную скорость поезда.

Решение:

Пусть первоначальная скорость поезда x км/ч. На путь в 60 км потребовалось бы 60/x ч времени. Из-за задержки в пути скорость поезда увеличена на 15 км/ч, т.е. в действительности поезд шёл со скоростью (x+15) км/ч и на путь в 60 км потратил  ч времени, что позволило наверстать потерянное в пути время в 12 мин. . Итак, .

Решим уравнение:

Отрицательное значение x не подходит по условию задачи.

Ответ: 60 км/ч

4. В прямоугольной трапеции основания равны 6 и 4. Диагональ равна 5. Найти периметр и площадь трапеции.

Решение:

Т ак как по условию задачи ВС = 4; АD = 6, то диагональ АС = 5. Из ΔАВС имеем АВ² = АС²-ВС² = 25-16 = 9.

Итак, высота трапеции АВ = 3;

площадь

, т.к.

Периметр:

Ответ: ;

5. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой прямой, касающейся данной окружности, на 20 и 14.

Решение:

П усть прямая l касается окружности в точке P и АВ – диаметр, AD = 20; ВС = 14. Рассмотрим ADCB; ( )  ADCB - прямоугольная трапеция; - радиус, проведённый в точку касания l с окружностью. Поскольку , то прямая АВ пересекает l в точке Q. Рассмотрим угол AQD. Стороны угла пересечены рядом параллельных прямых AD, OP, CB и АО = ОВ.

По теореме Фалеса DP = PC. Итак, OP – средняя линия трапеции ABCD. - радиус окружности. Диаметр окружности равен 34.

Ответ: 34.

I вариант (9 класс, 2004г.)

1. Н а катетах прямоугольного треугольника АВС вне его построены два квадрата АВDЕ и АСНК. Из точек D и Н на продолжение гипотенузы опущены два перпендикуляра HM и DN. Доказать, что сумма перпендикуляров HM и DN равна гипотенузе.

Решение: Из точки А проведём АРСВ. ∆САР=∆НМС по острому углу и гипотенузе ( МНС= АСР, СН=СА). ∆АРВ=∆BDN ( РАВ= NBD, АВ=BD). НМ=СР, РВ=DN, отсюда HM+DN=BC.

2. Пусть в равнобедренном треугольнике АВС биссектрисы равных углов А и С пересекают противоположные стороны соответственно в точках E и F. Доказать, что AFEC есть трапеция с тремя равными сторонами.

Р ешение: В треугольнике АВС АЕ и CF – биссектрисы => FAE= EAC= FCE= FCA.

1. Рассмотрим ∆АОС – равнобедренный =>АО=ОС.

2. ∆FOC=∆ЕОС (по второму признаку) => AF=EC (1) и FO=OE.

3. В ∆FOE выполняется FO=OE, т.е. EFO= FEO.

4. В равнобедренных треугольниках FOE и АОС углы при вершине О равны =>равны и все остальные углы, т.е. FEA= EAC. По признаку параллельности прямых ( FEA= EАC – внутренние накрест лежащие углы при прямых EF и АС и секущей АЕ) прямые АС и FE – параллельны.

5. Наконец в ∆AFE FAE = FEA, т.е. треугольник равнобедренный: AF=EF и (учитывая (1)) AF=EF=EC.

3. Найдите корни уравнения, зная, что они являются противоположными числами: .

Решение: Т.к. имеются два различных корня, то и . .

,

;

или

Т.к. , то по теореме Виета ;

Уравнение ; ;

Ответ: ;

4. Найдите наибольшее целое решение неравенства: .

Решение: ; ;

1. ; истинно

2. , , тогда .

Ответ: .

5. В двух баках содержалось 140л воды. Когда из первого бака взяли 26л воды, а из второго – 60л, то в первом баке осталось в два раза больше воды, чем во втором. Сколько литров воды было в каждом баке первоначально?

Решение: Пусть x л воды было в первом баке. Тогда (140-x) л воды было во втором баке. (x-26) л воды стало в первом баке (140-x-60) л стало во втором баке.

(80-x)·2=x-26

160-2x=x-26; 3x=186; x=62.

Ответ: в первом баке – 62л, во втором – 78л