II вариант (8 класс, 2004г.)

1. В прямоугольном треугольнике АВС известны углы АВС=30^○ и АСВ=90^○. Точка D разбивает гипотенузу на части в 2см и 4см. Найдите длину отрезка СD.

Р ешение: Пусть BD = 2; DA = 4. Проведём DE  ВС и DK  АС.

ΔBDE ; DE=CK=1;

ΔKDA ; .

ΔCDK

Ответ: .

2. Решите уравнение: .

Решение: ; ; ; ; .

3. Найдите корни уравнения, зная, что они являются противоположными числами: .

Решение: Т.к. уравнение имеет два различных корня, то и ;

Т.к. x₁+x₂=0, то ; (условия (*)) выполняются.

; ;

4. Найдите целые решения неравенства: .

Р ешение. ; ; ;

Ответ: .

5. В январе два цеха изготовили 1080 деталей. В феврале первый цех увеличил выпуск деталей на 15%, а второй увеличил выпуск деталей на 12%, поэтому оба цеха изготовили 1224 детали. Сколько деталей изготовил в январе каждый цех?

Решение: Пусть в январе I цех изготовил x деталей, тогда II цех изготовил в январе (1080-x) деталей.

1,15x+1,12(1080-x)=1224

1,15x+1209,6-1,12x=1224

0,03x=14,4

x=480

Ответ: I цех в январе изготовил 480 деталей, а II цех – 600 деталей.

II вариант (9 класс, 1998г.)

1. Сократить дробь:

Решение: =

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению реки за то же время, которое ему понадобилось для прохождения 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/час.

Решение: Пусть х км/час – собственная скорость катера. Тогда (х+3) км/час – скорость катера по течению реки, (х-3) км/час – скорость катера против течения реки. Общее время, затраченное катером на путь по реке -  час. Время на путь по озеру -  час. По условию задачи время по реке, затраченное на путь, и время по озеру, затраченное на путь, – одинаковое. Можно составить уравнение: , решаем это уравнение:

12 х (х+3) + 5 х (х-3) = 18 (х-3) (х+3)

х² – 21 х - 162 = 0

х₁ = -6, х₂ = 27

х₁ = -6 не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 27 км/час.

1. Дана функция .

а) построить график функции ; б) решить уравнение ;

в ) решить неравенство ;

г) при каких а уравнение не имеет корней.

а) построить график функции

Решение:

Графиком функции у=х²-6х+5 является парабола. Точка пересечения с осью ОУ: х=0, у(0)=5. Точка пересечения с осью ОХ: у=0, х²-6х+5=0; х₁=1, х₂=5.

Прямая х=3 – ось симметрии параболы; х₀=3 – абсцисса вершины параболы;

График функции у=f(х) изображен на рисунке:

Задачи б), в), г) можно решать обычным образом как квадратное уравнение, квадратное неравенство и уравнение с параметром. Но удобнее решать эти задачи графически, используя уже построенный график.

б) решить уравнение

Решение: Решением этого уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы у=f(х) и прямой у=-4.

Единственная точка пересечения этих линий – точка А(3;-4). Значит, уравнение имеет единственное решение х=3.

Ответ: х=3

в) решить неравенство

Решение:

Решением этого неравенства будут абсциссы точек параболы, лежащих ниже прямой у=0, т.е. ниже оси ОХ

Ответ: 1<x<5

г) при каких а уравнение не имеет корней

Решение:

Рассмотрим семейство прямых у=а. Эти все прямые параллельны оси ОХ. Уравнение f(х)=а не имеет корней, если прямая у=а не пересекает параболу у=х²-6х+5. Это будет для всех а<-4.

Ответ: а<-4

4. Меньшая сторона прямоугольника равна а, угол между диагоналями равен 120^. Найти радиус описанной окружности.