I вариант (8 класс, 2002 г.)
Катер проплыл 15 км вниз по течению реки за 1 час и вернулся обратно за 1,5 часа. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки.
Решение:
Пусть x км/ч
– скорость
катера в стоячей воде, y км/ч
– скорость течения реки. Тогда скорость
по течению – (x+y) км/ч,
скорость против течения – (x-y) км/ч.
Используя условие задачи составляем
систему уравнений:
Ответ: скорость катера в стоячей воде 12,5 км/ч; скорость течения реки 2,5 км/ч.
Площадь прямоугольного треугольника 150, один из катетов равен 15. Найти длину высоты, опущенной из вершины прямого угла.
Решение:
Д
ано:
∆АВС
– прямоугольный (угол С=90˚);
СВ=15;
;
Найти: CD
,
;
АС=20.
По
теореме Пифагора:
;
АВ=25
;
CD=12
Ответ: CD = 12.
Медиана, проведённая к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на части длиной 15 и 6. Найти длину боковой стороны.
Решение:
Д
ано:
∆АВС
– равнобедренный (АВ=ВС);
ВМ=МС;
МС+АС = 6; АВ + ВМ = 15
Найти: ВС
Пусть
МС=x;
АС=y,
тогда АВ=ВС=2x.
АВ=10
Ответ: АВ = 10
Замечание. Если предположить, что МС+АС=15, а АВ+ВМ=6, то получим АВ+ВС=8, АС=13, т.е. АВ+ВС<АС (ΔАВС не существует)
Если все стороны квадрата увеличить в два раза, то на сколько процентов увеличится его площадь?
Решение:
Пусть
сторона старого квадрата – x,
тогда сторона нового квадрата – 2x.
Площадь старого квадрата:
,
площадь нового квадрата:
.
Увеличение площади:
.
Найдём сколько процентов число
составляет от числа
:
.
Ответ:
площадь увеличится на
.
Один из корней уравнения
равен 1.
Найдите другой корень.
Решение:
Т.к.
,
то
,
отсюда
Найдём
корни уравнения:
;
Ответ: .
I вариант (8 класс, 2004г.)
В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС; АК – медиана; АК=6;
КАС=30○.
Найдите стороны треугольника.
Р
ешение:
1) Пусть ВН – высота в ΔАВС; ВН – медиана;
ВН и АК пересекаются в т.О.
,
АО = 4.
2)
(катет,
лежащий против угла в 30˚
в прямоугольном ΔАОН). ОН=2;
;
3)
;
;
4)
;
;
5)
.
Итак, все стороны ΔАВС
равны, т.е. ΔАВС – равносторонний.
Ответ:
Решите уравнение:
.
Решение:
;
;
;
;
Найдите корни уравнения, зная, что они являются противоположными числами:
.
Решение:
Т.к. имеются два различных корня, то
и
.
.
,
;
или
Т.к.
,
то по теореме Виета
;
Уравнение
;
;
Ответ: ;
Найдите целые решения неравенства:
.
Р
ешение:
;
;
;
Ответ: 0; 1; 2; 3; 4.
Фермер собрал с двух участков 460 т клевера. На второй год на первом участке урожай увеличился на 15%, а на втором – на 10%, и общий урожай клевера составил 516 т. Сколько тонн клевера было собрано с каждого участка в первый год?
Решение: Пусть с I участка в 1-й год собрано x т, тогда со II участка в 1-й год (460-x)т. На второй год на I участке – 1,15x т, на II участке – 1,1(460-x)т.
1,15x+1,1(460-x)=516
1,15x+506-1,1x=516
0,05x=10; x=200
Ответ: с I участка в 1-й год собрано 200т, со II участка – 260т.