2. Числовые характеристики двумерной случайной величины

В качестве числовых характеристик двумерных случайных величин обычно рассматриваются начальные и центральные моменты различных порядков.

Начальным моментом порядка k+s двумерной случайной величины {X,Y} число:

(4.6)

В частности, начальные моменты 1-го порядка:

, ,

представляют собой математические ожидания случайных величин X и Y.

Центральным моментом порядка k+s двумерной случайной величины {X,Y} число:

. (4.7)

В частности, центральные моменты 2-го порядка:

, ,

представляют собой дисперсии случайных величин X и Y.

Особого внимания заслуживает третий центральный момент 2-го порядка:

, (4.8)

который называется ковариацией (или корреляционным моментом). Выражение для ковариации может быть преобразовано на основании свойств математического ожидания следующим образом:

. (4.9)

3. Коэффициент корреляции и его свойства

Из определения ковариации следует, что она имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и Y. Другими словами, величина ковариации зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин ковариация имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины. Такая особенность ковариации является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение ковариаций различных систем случайных величин становится затруднительным. В связи с этим, чтобы устранить указанный недостаток, вводят новую числовую характеристику – коэффициент корреляции:

. (4.10)

Рассмотрим теперь свойства коэффициента корреляции.

1⁰. Коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен нулю.

Отметим, что обратное утверждение неверно. Например, пусть Y=X² и распределение X симметрично относительно начала координат, т.е. M[X]=0, то M[XY]=M[X³]=0 и M[X]M[Y]=0. Следовательно, K_xy=0 и _xy=0, несмотря на то, что между X и Y имеется функциональная зависимость.

Таким образом, если коэффициент корреляции между двумя случайными величинами равен нулю, то утверждение, что эти случайные величины независимы – не всегда справедливо. Это значит, что может существовать система зависимых случайных величин, коэффициент корреляции которых равен нулю. Поэтому вводится понятие коррелированности.

Две случайные величины называются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля; если он равен нулю, то эти величины называются некоррелированными.

Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин. Заранее отметим, что некоррелированность и независимость совпадают только в одном случае, когда случайные величины подчинены нормальному закону распределения.

2⁰. Коэффициент корреляции _xy двух случайных величин X и Y не превосходит по абсолютной величине единицы, т.е.

.

3⁰. Коэффициент корреляции двух случайных величин X и Y равен _xy=1 тогда и только тогда, когда между величинами X и Y существует линейная функциональная зависимость.

Итак, при возрастании |_xy| от 0 до 1 корреляционная связь увеличивается, а при |_xy|=1 она становится линейной функциональной зависимостью. Другими словами, коэффициент корреляции можно рассматривать как меру линейной зависимости между двумя случайными величинами X и Y.