2. Числовые характеристики статистического ряда

Построение вариационного ряда – лишь первый шаг к осмыслению ряда наблюдений. Этого недостаточно для полного исследования распределения изучаемого явления. Наиболее удобным и полным методом является аналитической способ исследования ряда, состоящий в вычислении числовых характеристик. Числовые характеристики, применяемые для исследования вариационных рядов, аналогичны тем, которые применяются в теории вероятностей.

Наиболее естественной характеристикой вариационного ряда является понятие средней величины. В статистике используют несколько видов средних величин: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и др. Наиболее распространенным является понятие средней арифметической величины:

. (3.2)

Если по данным наблюдений построен вариационный ряд, то используется понятие средней взвешенной арифметической величины:

. (3.3)

Средняя арифметическая величина обладает теми же самыми свойствами, что и математическое ожидание.

В качестве меры рассеяния значений наблюдаемой величины вокруг своего среднего значения принимают величину

, (3.4)

которая, как и в теории вероятностей, называется дисперсией. Величина

(3.5)

называется средним квадратичным отклонением (или стандартным отклонением). Статистическая дисперсия обладает теми же самыми свойствами, что и вероятностная дисперсия, и для ее вычисления можно использовать альтернативную формулу

. (3.6)

Пример 3.1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (таб. 3.1).

Таблица 3.1

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., x
1	78
2	82
3	87
4	79
5	89
6	106
7	67
8	88
9	73
10	87
11	76
12	115

Найти среднее арифметическое и стандартное отклонение. Постройте полигон частот.

Решение. Для расчета средней арифметической и дисперсии строим расчетную таблицу (табл. 3.2):

Таблица 3.2

	x	x2
1	78	6084
2	82	6724
3	87	7569
4	79	6241
5	89	7921
6	106	11236
7	67	4489
8	88	7744
9	73	5329
10	87	7569
11	76	5776
12	115	13225
Сумма	1027	89907

По данным таблицы находим:

, ,

, .

Построим полигон частот по исходным данным (рис. 3.2). 

Рис. 3.2

Пример 3.2. Получены сгруппированные данные о дневной выручке магазине электротоваров (таб. 3.3).

Таблица 3.3

Сумма продаж, тыс. руб., x	Число продаж, n
0-200	3
200-300	5
300-400	9
400-500	14
500-600	8
600-700	3

Найти среднее арифметическое и стандартное отклонение. Постройте гистограмму частот.

Решение. Для расчета средней арифметической и дисперсии строим расчетную таблицу (табл. 3.4):

Таблица 3.4

xi	ni	ni xi	ni xi2
100	3	300	30000
250	5	1250	312500
350	9	3150	1102500
450	14	6300	2835000
550	8	4400	2420000
650	3	1950	1267500
Сумма	42	17350	7967500

Здесь вместо x_i взяты середины соответствующих интервалов. По данным таблицы находим:

, ,

, .

Построим гистограмму частот по исходным данным (рис. 3.3). 

Рис. 3.3