Установлена зависимость силы гидростатического давления (силы Архимеда) от плотности свободного тела, погруженного в жидкость.

Архимедов рычаг

Про сиракузского мудреца Архимеда (278 - 212 гг. до н. э.) говорили, что, открыв действие рычага, он сказал: "Дай мне где встать, и я сдвину Землю". Сейчас этот афоризм чаще произносится так: "Дайте мне точку опоры, и я переверну мир!"

Сейчас слова "архимедов рычаг" употребляются, когда надо назвать самое могучее средство для выполнения той или другой задачи. Например, мы можем сказать: "Атомная энергия, этот архимедов рычаг прогресса, скоро неузнаваемо преобразит лик земли"...

С Архимедом связано много и других преданий.

Закон Архимеда

Любое тело, погруженное в жидкость, подвергается сжимающему и выталкивающему действию со стороны жидкости.

Представим такую ситуацию: ученый, владеющий современными приборами и мощным математическим аппаратом, решил вычислить силу, выталкивающую из жидкости погруженное в нее тело.

Он экспериментально установит, что на единицу поверхности тела, погруженного в жидкость с плотностью  действует по нормали к поверхности сила гидростатического давления p, зависящая от глубины погружения h по определенному закону ( gh) и не зависящая от ориентации поверхности.

Он сложит векторы сил давления, действующих на различные элементы поверхности тела и направленные по нормали к ним; для этого потребуется вычислить так называемый поверхностный интеграл от некоторой векторной функции по поверхности тела сложной формы. С помощью современного математического аппарата и мощных компьютеров этот интеграл может быть вычислен. Но каково же будет изумление этого ученого, когда окажется, что полученный результат численно равен весу жидкост и в объеме погруженной части тела! Этот результат был получен греческим ученым Архимедом 2200 лет назад, причем в общем виде — для тел любой формы!

Попробуем восстановить ход рассуждений Архимеда и вывести его закон.

На рис. 1, изображено тело, помещенное в жидкость. На это тело со стороны жидкости действует описанная выше сила гидростатического давления. Для нахождения этой силы вместо вычисления сложных интегралов проведем мысленный эксперимент: уберем тело и рассмотрим жидкость в объеме V, который занимала погруженная часть тела (рис. 2). На эту жидкость действует сила тяжести  Vg и сила гидростатического давления F. Выделенный объем находится в равновесии, следовательно, сумма сил, действующих на жидкость в этом объеме, равна нулю: F+  Vg =0.

Отсюда следует выражение для силы гидростатического давления: F=- Vg.

Мы нашли силу, действующую на поверхность жидкости, заполняющей объем  V. Но поверхность тела, погруженного в жидкость, совпадает с поверхностью жидкости в нашем мысленном эксперименте, следовательно, найденное выражение и есть «выталкивающая’’ сила — сила Архимеда

F _Арх = - Vg. (*)

Это равенство и носит название закон Архимеда.

2. Неприменимость закона Архимеда для случая свободных тел

Казалось бы, решение задач с использованием этого закона не должно вызывать затруднений. Однако неверные решения отдельных задач на закон Архимеда встречаются не только у школьников, но и в ряде задачников.

Дело в том, что при использовании этого (как и любого другого) закона надо всегда помнить, как и для каких ситуаций он выводился. Так, например, мы вычисляли силу гидростатического давления, действующую на поверхность неподвижного объема жидко сти, находящейся в равновесии, т. е. имеющей нулевые скорость и ускорение. Следовательно, и использовать выведенное выражение для силы Архимеда можно только в тех случаях, когда и скорость, и ускорение тела равны нулю.

Покажем, что применение этого закона в других ситуациях абсолютно неправомочно, так как приводит к неверным результатам.

Рассмотрим легкое тело, привязанное ниткой к дну сосуда, заполненного жидкостью (рис. 3). Тело погружено в жидкость и находится в равновесии. На него действуют вниз сила тяжести mg=  Vg и сила натяжения нити T, а вверх — сила гидростатического давления

F=F_Арх=-  Vg, (*)

где  - плотность тела,  - плотность жидкости. Условие равновесия тела

- Vg +T+ Vg =0. (1)

Пусть в некоторый момент нить обрывается (т. е. исчезает сила натяжения T), равенство (1) перестает выполняться, и тело начинает двигаться вве рх (всплывать) с некоторым ускорением a, которое можно найти из уравнения движения

F+  V g =  V a. (2)

Предположив, что в этом случае можно использовать закон Архимеда, подставим -  Vg в левую часть равенства (2) вместо F. Для ускорения тела получаем выражение

a = — g ( - )/   (3)

Исследуем выражение (3). Ускорение тела направлено против ускорения свободного падения (что абсолютно верно), а его величина неограниченно возрастает при уменьшении плотности тела. Такой результат противоречит как здравому смыслу, так и наблюдениям.

Таким образом, закон Архимеда в форме неприменим к телам, ускорение которых относительно жидкости отлично от нуля (даже при равной нулю скорости).