Проверьте себя

№ 1. Решить уравнения: а) б) в) .

№ 2. Выполнить в алгебраической форме

Ответы:

№1. а) , б) , в) .

№2. .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем состояла потребность появления комплексных чисел?

2. Что называется комплексным числом?

3. Когда два комплексных числа называются равными?

4 . Что такое мнимая единица?

5. Какие два комплексных числа называют сопряженными?

6. Как выглядит арифметические операции сложения, вычитания, деления и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?

Глава 2. Математический анализ. Дифференцирование и интегрирование функций

2.1 Предел функции

Бесконечно большие, бесконечно малые функции

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x стремящемся к х₀ (или х х₀), если разность между ними ничтожно мала, т.е. Пишут

Если f(x)0 при х х_0, то функцию f(x) называют бесконечно малой.

Например,

Если f(x) при х х_0, то функцию f(x) называют бесконечно большой.

Например,

Утверждение. Бесконечно малая и бесконечно большая величины являются взаимообратными, т. е.

Основные теоремы о пределах функций

1.Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов от каждой функции:

2. Предел произведения функций равен произведению пределов от каждой функции:

3. Предел частного двух функций равен частному пределов:

4. Предел постоянной величины равен ей самой. Пусть C=const-постоянная.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

6. Предел степени равен степени предела:

.

Вычисление пределов функций

А) Вычисление предела многочленов. Например,

Таким образом, для вычисления предела многочлена достаточно вместо переменной х подставить значение, к которому она стремится.

Б) Вычисление предела отношения двух многочленов:

В) так как знаменатель стремится к нулю (см. утверждение).

Г) (см. утверждение).

Раскрытие случаев .

Правило 1 (х→ 0). Необходимо в числителе и знаменателе вынести за скобки х в меньшей общей степени, сократить и продолжить поиск предела.

Пример. Найти .

Решение. Вынесем за скобки х в первой (меньшей для числителя и знаменателя) степени, получим:

.

Правило 2 (х→ ). Необходимо в числителе и в знаменателе вынести за скобки х в наибольшей степени.

Пример. Найти .

Решение. Вынесем за скобки х в третьей (большей для числителя и знаменателя) степени, получим:

Указание. Воспользовались свойством:

Правило 3 (х → С, С ≠ 0). Числитель и знаменатель разложить на линейные множители, сократить и продолжить поиск предела.

Пример. Найти - неопределенность.

Решение. Разложив на множители числитель и знаменатель, получим:

Указания. Формула разложения квадратичной функции на множители:

, где х₁ и х₂ – корни соответствующего уравнения

Тогда

Для знаменателя – формула разности квадратов: ,тогда

Первый замечательный предел Второй замечательный предел