Подставив найденные значения определителей в формулы Крамера, получим:

х = ; у = ; z = .

Ответ: (3; 4; 5 ).

Проверьте себя

1. Вычислить определители:

1) 2) 3) Ответы: 1) 29; 2) 18; 3) – 4;

2. Вычислить определитель, используя правило 1: .

Ответ: -18.

3. Вычислить определитель, разложив его по третьему столбцу, .

Ответ: – 92.

4. Решить системы методом Крамера:

Ответы: а) (1, 1, 1) б) (2;3).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дать определение определителя n – го порядка.

2. Дать определение минора.

3. В чем заключается правило 1 вычисления определителя;

4. В чем заключается правило 2 вычисления определителя.

5. Дать определение системы n–го порядка. Что означают индексы при коэффициентах?

6. В чем состоит суть метода Крамера?

7. Как проверить правильность решения?

1.2 Комплексные числа

Понятие комплексного числа.

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее необходимость выполнения вычитания к понятию нуля и отрицательных чисел, наконец, извлечение корня из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Остались и невыполненные операции, например, извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Возникает новое понятие – мнимая единица, т.е. . Это такое число, квадрат которого равен -1, т.е. В технической литературе применяют обозначение . Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой. Между ними существует взаимно-однозначное соответствие. На координатной прямой «нет места для новых чисел». Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Поэтому естественно в качестве новых чисел – их называют комплексными – ввести упорядоченные пары действительных чисел.

Комплексным числом называется выражение вида z = х + iy, где х и у — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, i² = — 1.

Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число х +i0= х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R C

Число х называется действительной частью комплексного чи­сла z и обозначается х = Re z, а у — мнимой частью z, у = .

Два комплексных числа и называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части , - В частно­сти, комплексное число z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х = у = 0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа z = х + iy и = х — iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Решение квадратного уравнения

Рассмотрим квадратное уравнение . Из школьного курса математики известно:

А) если дискриминант уравнения положителен >0, то уравнение имеет два различных действительных корня:

Б) если D=0, то корни совпадают ,

В) если D<0, то действительных корней нет.

Покажем, что в случае отрицательного дискриминанта уравнение имеет два различных комплексных корня.

Вначале рассмотрим уравнение:

Уравнение имеет корни: . Получили мнимые корни.

Можно извлекать корни, например,

Решим уравнение

Пример. Решить уравнение

Решение:

Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z = х + iy можно изобразить точкой М(х; у) плоскости хОу такой, что х = Re z, у = Im z. И наоборот, ка­ждую точку М(х; у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = х + iy.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней ле­жат действительные числа z= х + 0i = х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные чи­сла z = 0 + iy.

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначает­ся или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное чи­сло, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или .

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z 0 величина многозначная и определяет­ся с точностью до слагаемого 2 где arg z — главное значение аргумента, заключен­ное в промежутке [— ; , т. е. — argz (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2 ]).

Действия над комплексными числами

Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = х₂ + iy₂ называется комплексное число, определяемое равенством

Например.

Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Раз­ностью двух комплексных чисел z₁ и z₂ называется такое комплекс­ное число, которое, будучи сложенным с z₂, дает число z₁, т.е. , если z+z₂=z₁

Если z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = х₂ + iy₂, то из этого определения легко получить z:

Например,

Умножение комплексных чисел

Важнейшее соотношение .

Благодаря ему формально перемножаем двучлены

Например, (2-3i)·(-5+4i)=-10+8i+15i-12i²=-10+23i+12=2+23i

Заметим, что .

Деление комплексных чисел

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z₁ z₂ называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z₂, дает число z₁, т.е. , если z₂z= z₁.

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

Пример. Выполнить деление .

Решение: