Контрольная работа № 1д

Тема: «Неопределённые и определённые интегралы»

Краткая теория и формулы:

Контрольная работа содержит три контрольных задания.

Контрольное задание № 1. Вычисление неопределённого интеграла

1. Неопределенный интеграл есть

, где , С – постоянная .

называется первообразной для .

Основные правила интегрирования:

1. Дифференциал функции ; .

2. .

3. ( – число).

4. Если , то .

5. Если , а , то .

6. Метод интегрирования по частям: если , , то .

7. Правильность результатов интегрирования проверяется так: . Взятие неопределённого интеграла есть действие, обратное взятию производной.

Таблица основных неопределённых интегралов

– постоянные числа;

, если , то ;

1. ; ; 1а. ;

2. ; 2а. ;

3. ; 3а. ;

4. ;

5. ; 5а. ;

6. ; 6а. ;

7. ;

8. ; ;

9. ;

10. ; 10а. ;

11. ; 11а. .

12. ;

Формулы 1а, 2а, 3а, 5а, 6а, 10а, 11а получены по правилу 4.

Для взятия неопределённого интеграла, надо преобразовать подынтегральное выражение, воспользоваться правилами, чтобы привести его к табличным интегралам.

Контрольное задание № 2. Вычисление определённых и несобственных интегралов

а) Определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница

,

где – первообразная функции , т. е. .

б) Несобственный интеграл по бесконечному промежутку

Если предел существует, то несобственный интеграл сходится и равен ему, иначе интеграл расходится.

Контрольное задание № 3. Приложение определённого интеграла для вычисления площади плоской фигуры.

Площадь плоской фигуры, ограниченной сверху графиком функции , а снизу – графиком функции при изменении х от а до b равна

.

Примеры к контрольной работе № 1д

Решение примеров к заданию I:

1. 

Применяя правило 2, формулы 1 и 2

.

2. ; .

Выносим общий множитель в знаменателе, применим правило 3, формулы 7 и 9.

.

3. ; ; ;

Применим правило подведения под знак дифференциала , правило 3 и формулы 10 (10а) и 2

.

.

+ С.

4. ; ; ;

Применяем формулы ; ; , правила 3, 2 и формулы 6а, 1.

.

.

5. 

Применим метод выделения полного квадрата в многочлене знаменателя, замену переменной, почленное деление дроби на знаменатель, подведение под знак дифференциала как в примере , формулы 7 и 2. Так как , то

;

Замена переменной , тогда , ;

.

6. ;

Применим правило 7 интегрирования по частям , формулы 6а, 5а

.

Аналогичным способом находят интегралы от функций: ; ; ; ; ; a, b, g – числа.

7. ; ;

Применим замену переменных , почленное деление дроби на знаменатель, правила 2 и 3, формулы 1,8 и 2а.

; ; ; ;

.

.

Решение примеров к заданию II:

1. Вычислить определённый интеграл

2. Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость.

, где

;

, т.к ;

Следовательно интеграл сходится и равен .

Решение примеров к заданию III:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций ;

1. Построение схематического чертежа

х	0	1	2	3
у1	6	2	0	0
у2 у2	6	6	4	0

у₂

2

3

0

у₁

1

6

Фигура сверху ограничена , снизу .

2. Точки пересечения двух кривых

3. 

кв. ед.