Примеры решения заданий контрольной работы №1в
Задание 1. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя
=
Задание 2. Исследовать функцию
и построить ее график.
Решение. Будем следовать общему плану.
Построим координатную плоскость, на которую будем наносить результаты, полученные в
каждом разделе.
I. Общая характеристика функции.
Область определения :
Т. е
Характеристика функции.
Функция
называется четной, если
,
нечетной, если
,
иначе - функцией общего вида
По определению,
-
нечетная функция.
Непрерывность функции.
является непрерывной везде, кроме точек
и
,
где она терпит бесконечный
разрыв.
Точки пересечения графика функции с осями координат.
Асимптоты.
1. Вертикальные асимптоты связаны с точками бесконечного разрыва
предел слева:
предел справа:
предел слева:
предел справа:
2. Наклонные асимптоты.
;
;
Наклонная асимптота
При
и при
график функции
будет неограниченно приближаться к
графику прямой .
Полученные точки и асимптоты наносим на координатную плоскость.
у
х
-2
2
Схематический график 1.
Исследование функции на возрастание и убывание, экстремумы.
1.Находим
2.
или
,
не существует, если
=0,
т.е.
и
,
но эти точки не входят в область
определения.
Нанесем полученные точки на ось
-2
0
2
Определяем знак первой производной в каждом полученном интервале, для чего определим
знак в произвольной точке каждого интервала.
Возьмем, например,
,
,
,
,
,
.
4. Определяем участки возрастания и убывания функции.
функция
убывает
функция
возрастает
функция возрастает
функция
возрастает
функция возрастает
функция
убывает
Определяем точки экстремума.
Точка
-мининум
Точка
-максимум
Нанесем точки экстремума на координатную плоскость.
5,2
у
2
-2
х
Схематический график 2.
III. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
1. Находим вторую производную
2.
-
не существует при
,
т.е.
и
;
но эти точки не входят в область
определения .
Нанесем эти точки на ось .
0
-2
2
Определяем знак второй производной в каждом полученном интервале, для чего определяем
знак
,
например, в точках
,
,
и
4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости функции
- функция вогнутая
- функция выпуклая
- функция вогнутая
- функция выпуклая
5. Определяем точки перегиба.
При переходе через
меняет знак (выпуклость меняется на
вогнутость).
Определяем
точки
перегиба.
; точка перегиба (0,0).
Наносим точку перегиба на схематический график.
х
у
-2
2
Схематический график 3.
у
5
IV. Строим график.
-2
2
х
-5
у = – х
