РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математики

Методические указания и задания

к контрольным работам студентов

I курса заочного отделения

(для ЗПМ)

Составители: Ваксман К.Г.

Михайлова А.В.

Москва,

2011 г.

Контрольная работа № 1а

Тема: «Пределы и непрерывность»

Основные теоретические сведения

(см. «Методические указания»)

1. Символика

с – постоянная

(неопределенность); (неопределенность).

2. Бесконечно-малые и бесконечно-большие функции

Функция называется бесконечно-малой (бесконечно-большой) при , если ( ).

3. Предел отношения двух многочленов

1. . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разделить на ,где - наибольший показатель степени при в числителе и знаменателе. Затем использовать, что и при .

2. 

Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель требуется разложить на множители и сократить на общий множитель . Использовать формулы: ;

,где и –корни, , ;

2. Первый замечательный предел

при . Следствие: , так как .

Сделав замену переменной получим , аналогично: .

Использовать формулы: ; ; .

3. Второй замечательный предел

; . Число

4. Функция называется непрерывной в точке , если .

5. Условия непрерывности функции в точке :

   1. функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку а (т.е. в самой точке и вблизи этой точки);

   2. функция должна иметь одинаковые односторонние пределы:

;

3. эти односторонние пределы должны быть равны .

Примеры к контрольной работе № 1а

1. Какие из следующих функций являются бесконечно малыми, бесконечно большими при (правило 2):

а) ;

имеет конечный предел при .

б) является бесконечно большой при .

в) является бесконечно малой при .

2. Найти пределы функций. Пользуемся правилами 1, 2, 3, 4, 5.

а) ,так как , , , .

б) .

При этом разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители

, где и – корни, , ;

; ; .

В знаменателе , т.к. .

в ) = Пусть , , =

.

г ) Пусть , , =

.

3. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертёж.

– определена и непрерывна на всей числовой оси. Она может иметь разрывы в точках и . Найдем односторонние пределы (слева и справа) в этих точках.

y

3

2

1

1 2 x

Чертёж

; ; ; . Левый и правый пределы конечные, но не равны между собой; имеет в точке конечный разрыв скачок равен .

; ; ; .Пределы слева и справа конечны и равны . В точке – непрерывна.

Задания к контрольной работе № 2

Содержит 3 контрольных задания:

1. Какие из следующих функций являются бесконечно малыми и бесконечно большими при .

2. Найти пределы функции.

3. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

№ вар-та	Задания	№ вар-та	Задания
1	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)	2	1) а) ; б) ; в) . 2. а) ; б) ; в) ; г) . 3)
3	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)	4	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)
5	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) 3)	6	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) 3)
7	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) 3)	8	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)
9	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)	0	1) а) ; б) ; в) . 2) а) ; б) ; в) ; г) . 3)