Задание к3 Кинематика сложного движения точки.

Точка М движется относительно вращающегося тела по криволинейным или прямолинейным направляющим. Дано уравнение относительного движения точки М: (ОМ-дуговая координата) и уравнение вращательного движения тела . Определить для указанного момента времени абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Схемы механизмов

1 2

S_r = 12π t² см, φ_e = 0,5 t², t = 1 c

S_r = 36π t² см,

φ_e = 4 t²,

t = 1,5с

3 4

S_r = 12π t ² см, φ_e = 0,5 t², t = 1 c

S_r = 4 t² см, φ_e = 2,5 t², t = 1 c

5 . 6.

S_r =(4+2t+ 4 t²) см, φ_e = 3 t², t = 1 c.

7. 8.

30º

S_r = 2 t² см, φ_e = 4t², t = 2 c

S_r = 16 - t² см, φ_e = 4t², t = 2 c

9. 10.

S_r = 5π t ²см, φ_e = 2t² -4 t³,

t = 1 c

11. 12.

S_r = 15 t см, φ_e =3 t² -4 t³, t = 1 c

13. 14.

1 5. 16.

S_r =( 20 – 4 t²) см,

φ_e = 12 t - 2 t², t=2c.

t = 1 c

17. 18.

ОА =АВ =12 см,

S_r = (8 +t² )см ,

φ_e =6 t - 2 t², t = 2 c

19 20

21. 22.

Sr = 20π sin (π t/6) см ,

φ_е =6 t -2 t³,

t = 1 c, R = 30 см

Sr = 24t² см,

φ_е =16 t - 2 t²,

t = 2 с

23. 24.

25. 26.

27. 28.

№ 29. 30.

31. 32.

Sr = 20π t² см, φ_e =4 t²,

t = 1 c, R = 20 см

33. 34.

35 36

S_r = 36π t² см, φ_e = 4 t²,

t = 0,5 с

37 38

О

М

39 40

R=24см

С

S_r =(4+2t+ 4 t² ) см, φ_e = 3 t²,

t = 1 c

_е

S_r = 8π t² см, φ_e = 4t - t²,

t = 1 c

41 42

43 44

45 46

47 48

S_r = 20π t² см, φ_e = 4t²,

t = 0,5 с

S_r = (12t + 8 t² ) см, φ_e =5 t -8 t²,

t = 1 c

4 9 50

5

A

1 52

М

О

B

_е

ОА =АВ =12 см,

S_r = (8 +t² ) см , φ_e =6 t ,

t = 2 c.

5 3 54

5 5 56

Sr = 14t ²см,

φ_е =16 t - 2 t²,

t = 1 ,ОС= 20 см

57 58

5 9 60

6 1 62

63 64

Sr = 12π sin (π t/3) см ,

φ_e =6 t -2 t²,

t = 0,5 c, R = 12 см

6

М

5 66

_е

R

С

О

О₁

Sr = 20 ∙t ² см,

φ_e =4 t², О₁С=10 см

t = 1 c, R = 20 с

6 7 68

Sr = (6t - t² ) см,

φ_e =4 t²,

t = 1 c

О

Sr = 20π t² см, φ_e =4 t²,

t = 1 c, R = 20 см.

6 9 70

_е

R

С

О

О₁

М

Sr = 20πt² см,

φ_e =4 t², О₁С=10 см

t = 1 c, R = 20 см

7 1 72

7 3 74

75 76

S_r = t²см, φ_e = 4t², t = 2 c,

ОС=12см

7 7 78

7 9 80

S_r = (15 t- t² ) см, φ_e =(3 t² -4 t³),

t = 1 с

8 1 82

8 3 84

О

S_r =( 20 – 4 t²) cм, φ_e = 12 t – 2 t²,

t = 1 c

8

12см

5 86

М

_е

С

45⁰

О

S_r = 12 ∙ cos(πt/3) см ,

φ_e =12 t , t = 2 c

8

М

7 88

С

О

_е

R

Sr = 20πt² см, R=40 см,

φ_е =10 t - 2 t², t=1 с

t = 2 c, R = 20.

89 90

Sr = 20π sin (π t/6) см , φ_е =6 t ,

t = 1 c, R = 30 см

9 1 92.

9 3 94.

9 5. 96

9 7 98

Sr = 12π sin (π t/3) см ,

φ_e =6 t -2 t²,

t = 0,5 c, R = 12 см.

9

М

О

М

9 100

С

О₁

_е

R

R

С

О

_е

6см

Sr = 20π t см²,

φ_e =4 t²,

t = 1 c, R = 20 см

О₁С=10 см

Sr = 20π t² см,

φ_e =3 t², t = 1 c

R =20 см.

Рекомендации по решению задачи.

1. Решение задачи следует начинать с анализов переносного и относительного движений. Необходимо установить характер каждого движения: для переносного указать тип движения (поступательное, вращательное и др.), для относительного - вид траектории.

2. Определить в заданный момент времени положение точки относительно подвижной системы отсчета, связанной с движущимся телом.

3. Мысленно остановить относительное движение и определить все кинематические характеристики переносного движения: угловую скорость, угловое ускорение подвижной системы отсчета относительно неподвижной, переносные скорость и ускорение точки.

4. Мысленно остановить переносное движение и определить относительную скорость и относительное ускорение точки.

5. По угловой скорости переносного движения и относительной скорости точки определить ускорение Кориолиса.

6. Выяснив относительное расположение относительной и переносной скоростей, определить абсолютную скорость точки.

7. Пользуясь методом проекций, определить модуль и направление абсолютного ускорения. [1] П 64-67.

П ример .Кинематика сложного движения точки.

П

φ_e

рямоугольная пластина АВCD (рис.2.6) вращается вокруг неподвижной оси Аz₁ по закону . По пластине вдоль прямой AЕ, образующей с осью вращения угол 30^о, движется точка М по закону . Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в момент времени t = 1 c.

Решение.

1. Точка М совершает сложное движение: переносным является ее движение вместе с пластиной, относительным – движение по пластине. Пластина вращается вокруг оси z₁, относительное движение точки является прямолинейным вдоль прямой АЕ.

2. Находим в заданный момент времени положение точки М на пластине.

При t = 1 c. расстояние S_r = AM = 3sin(p/6) = 1,5 м.

3. Определяем при t = 1 c. все кинематические характеристики, относящиеся к переносному движению.

Угловая скорость переносного движения равна

При t = 1c, w_e =4 1/c. Вектор угловой скорости направлен вниз по оси вращения пластины.

Угловое ускорение переносного движения

.

Так как значения угловой скорости и углового ускорения положительны, вращение пластины является ускоренным.

Радиус вращения точки М в данный момент равен перпендикуляру h = ОМ, опущенному из точки М на ось вращения.

При t = 1 c, h = AM sin30^o = 0,75 м.

Переносная скорость точки М перпендикулярна плоскости пластины и направлена в сторону вращения пластины. Переносная скорость равна

= 3 м/c.

Переносное ускорение складывается из нормальной и касательной составляющих: .

Нормальное ускорение направлено по радиусу вращения ОМ к оси вращения и определяется по формуле:

см/c².

Переносное касательное ускорение совпадает по направлению с переносной скоростью, так как вращение пластины является ускоренным.

.

4. Относительное движение является прямолинейным, определяем кинематические характеристики этого движения. Относительная скорость:

, при t = 1c её величина .

Относительное ускорение:

, при t = 1c величина 14,7 м/c².

Знак минус указывает, что это ускорение направлено в сторону, противоположную положительному направлению движения.

5. Находим ускорение Кориолиса, модуль и направление которого определяется формулой .

Вектор угловой скорости вращения пластины, лежит в плоскости пластины, в которой расположен также и вектор , следовательно, вектор ускорения Кориолиса перпендикулярен плоскости пластины и направлен от нее, т.е. в сторону, откуда совмещение , если его перенести в точку М, с вектором на меньший угол видно против часовой стрелки.

Модуль ускорения Кориолиса определяется по формуле

.

друг другу, поэтому модуль абсолютной скорости равен

м/с.

7. Абсолютное ускорение находим по теореме Кориолиса, на основании которой абсолютное ускорение равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и ускорения Кориолиса

.

Переносное ускорение , следовательно,

.

Выберем в точке М подвижные оси координат xyz, связанные с пластиной так, как показано на рис.2.6, и спроецируем последнее равенство на эти оси.

19,4 м/c²;

-19,35 м/c²;

м/c² .

Модуль абсолютного ускорения равен:

30,16 м/c².

71