Добавил:

Yanus Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Физика

Файл:

Электричество и магнетизм [В.З.Ковалев, А.С.Татевосян, О.П.Куракина][2005].doc

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

1.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

4. Задание по расчету электрического поля путем составления интегрального уравнения и его приближенного решения.

А) расчет электрического поля в диэлектрике.

Задача 1. В диэлектрике с известной относительной диэлектрической проницаемостью среды в плоскости рисунка (рис. 14 или рис. 15 согласно варианту задания) находятся два одинаковых цилиндрических электрода. Длина электродов , расстояние , радиус сечения заданы, при этом , . Электрод А имеет потенциал , электрод В – потенциал .

Требуется: 1) составить интегральное уравнение, которому подчиняется линейная плотность заряда на электроде А и аналогичное уравнение для электрода В; 2) для приближенного решения интегральных уравнений по п. 1 разделить каждый электрод на три участка одинаковой длины с неизвестными . Составить систему алгебраических уравнений для определения всех . Определить коэффициенты этой системы и, решив ее, найти закон распределения линейной плотности заряда вдоль оси электрода А. Вычислить емкость между электродами.

Исходные данные для решения задачи приведены в таблице.

Параметр	Варианты задания
Параметр	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Рисунок	14	15	14	15	14	15	14	15	14	15
м	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	0.75	1,25	1,75	2,25	2,75
м	60	120	180	240	300	90	150	210	270	330
м	10	20	30	40	50	15	25	35	45	55
	1	2	2,5	4	5	1	2	2,5	4	5
В	100	50	40	25	20	100	50	40	25	20

Б) Расчет электрического поля в проводящей среде.

Задача 2. Стальная цилиндрическая труба длиной , диаметром 2 помещена в слабо проводящую среду (землю). Удельная проводимость земли много меньше проводимости трубы . По трубе в землю стекает ток I, который подводится к трубе по изолированному проводу. Положение трубы в земле указано на разрезе согласно рисунку (рис. 16 или рис. 17 в зависимости от варианта задания).

Требуется: 1) составить и решить систему интегральных уравнений относительно линейных плотностей токов , разбив предварительно трубу на три участка одинаковой длины с неизвестными ; 2) определить потенциал и сопротивление растекания заземлителя (трубы) .

Исходные данные для решения задачи приведены в таблице.

Параметр	Варианты задания
Параметр	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Рисунок	16	17	16	17	16	17	16	17	16	17
м	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
м	250	500	300	600	350	700	400	450	550	600
м	-	40	-	50	-	60	-	40	-	50
I, А	50	100	60	120	70	140	80	90	160	180

Рисунки к задачам.

Первая группа задач – расчет электростатического поля.

Рис. 1. Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Вторая группа задач - расчет электрического поля постоянного тока.

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8

Третья группа задач – расчет магнитного поля постоянного тока.

Рис. 9 Рис. 10

Рис. 11 Рис. 12

Рис. 13

Четвертая группа задач – расчет электрического поля путем составления

интегрального уравнения и его решения.

А) Расчет электрического поля в диэлектрике.

Рис. 14 Рис. 15

Б) Расчет электрического поля в проводящей среде.

Рис. 16 Рис. 17

Примеры решения задач.

Электростатическое поле.

Пример 1. В равномерное электрическое поле (рис. 18) с напряженностью В/м внесен длинный металлический цилиндр радиусом см. Окружающей средой является воздух (проницаемость ).

Требуется: 1) определить напряженность элек-трического поля вокруг цилиндра, ее максимальное значение с указанием координаты данной точки поля; 2) найти плотность зарядов, индуцированных на поверхности цилиндра.

Указание. При решении задачи воспользоваться методом разделения переменных.

Рис. 18

Решение.

Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат для определения электрического потенциала имеет вид:

Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты r, а другая – только от координаты :

Чтобы определить функции , подставим искомое решение в дифференциальное уравнение:

Умножим обе части равенства на выражение , получим

Равенство это должно быть справедливым при любых значениях r и . Это возможно лишь в том случае, когда каждая из частей уравнения равна некоторой постоянной , то есть

, .

В рассматриваемой задаче искомое решение будет , причем постоянная должна быть равна 1. В этом легко убедиться подстановкой в уравнение, записанное относительно функции . Тогда уравнение для определения функции примет вид:

Для решения этого уравнения введем новую независимую переменную w так, чтобы

Тогда

Подставив эти производные в решаемое уравнение, получим:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Корни характеристического уравнения равны

Таким образом, искомый интеграл

Найдем напряженность поля

где , ,

Соответственно проекции вектора электрического смещения

, ,

Для определения постоянных интегрирования учтем граничные условия. При устремлении радиуса к бесконечности влияние цилиндра не сказывается, поэтому и, следовательно, или , откуда Поверхность цилиндра является эквипотенциальной. При радиусе потенциал для всех значений , что возможно при условии

Следовательно . Подставив значения постоянных интегрирования, получим:

, , .

Наибольшая напряженность будет в точке с координатами . С учетом исходных данных В/м.

Плотность зарядов, индуцированных на поверхности цилиндра:

Подставляя числовые значения в выражение плотности зарядов , найдем

Кл/м.

Электрическое поле постоянного тока.

Пример 2. В цилиндрическом конденсаторе с несовершенной изоляцией вследствие неравномерного нагрева относительная диэлектрическая проницаемость меняется по закону , а удельная проводимость меняется по закону , где См/м, . Радиус внутреннего цилиндра равен м, радиус внешнего цилиндра м. Длина конденсатора м. Конденсатор включен под постоянное напряжение кВ.

Требуется: 1) определить закон распределения объемного заряда в функции от расстояния до оси цилиндра; 2) вычислить ток утечки.

Решение.

В цилиндрическом конденсаторе вектор напряженности электрического поля , а следовательно, и вектор плотности тока утечки будут направлены по радиусам. Выражая напряженность электрического поля через ток утечки I, найдем

Напряжение между электродами

Решив это уравнение относительно тока, определим

Закон распределения плотности тока:

Закон изменения напряженности электрического поля:

Закон распределения объемного заряда:

Так как и зависят только от координаты r, то можно записать

;

Используя полученные выражения, окончательно найдем закон распреде-ления объемной плотности заряда

Магнитное поле постоянного тока.

Пример 3. Двухпроводная линия (рис. 19) состоит из цилиндрических проводов с радиусом . Расстояние между осями проводов . В проводах линии протекает ток А. Окружающая среда воздух (относительная магнитная проницаемость среды ).

Требуется: 1) определить скалярный магнитный потенциал для точки M, находящейся на расстояниях от осей проводов; 2) вектор магнитной индукции , вектор напряженности магнитного поля , векторный магнитный потенциал .

Указание. Влиянием земли и токами в других проводниках можно пренебречь.

Решение.

При условии расчет магнитного поля вне проводов можно вести при допущении, что токи проходят в бесконечно тонких нитях, совпа-дающих с геометрическими осями проводов. Поместим начало координат в точку О, лежащую в середине линии, соединяющей оси проводов (рис.19). Скалярный магнитный потенциал в точке М, обусловленный током в левом проводе, опреде-ляется углом , отсчитываемым от направления оси x против часовой стрелки; потенциал же, обусловленный током в правом проводе, опреде-ляется углом , отсчитываемым от направлении

Рис. 19

оси x по часовой стрелке. Различие в направлениях отсчета объясняется тем, что токи в проводах текут в противоположных друг другу направлениях. Полная величина скалярного магнитного потенциала в точке М

Учитывая, что , где - плоский угол, под которым на чертеже видны следы осей проводов из точки М, получим:

Пусть во всех точках оси x, лежащих вне линии, то есть имеющих абсциссы и . Для этих точек , поэтому и магнитный потенциал будет

Для определения угла используем исходные данные задачи. Из теоремы косинусов следует, что

Отсюда находим и .

Вектор магнитной индукции в точке М имеет составляющие, обусловленные током в левом проводнике , и током в правом проводнике . Результирующий вектор магнит-ной индукции определится как сумма его составляющих . Для нахождения предварительно вычислим углы и . Из теоремы косинусов или , тогда угол . Составляющие индукции магнитного поля определяются путем подстановки исходных данных задачи:

; .

Результирующий вектор индукции магнитного поля , модуль вектора индукции .

Векторный магнитный потенциал в точке М находится также по принципу наложения. Он направлен по оси z, параллельно осям проводов:

Предполагается, что в начале координат векторный потенциал . По условию данной задачи .

Расчет электрического поля в диэлектрике

методом интегральных уравнений.

Пример 4. В диэлектрике с известной относительной диэлектрической проницаемостью среды в плоскости рисунка (рис. 20) находятся два одинаковых цилиндрических электрода. Длина электродов , расстояние , радиус сечения заданы, при этом , . Электрод А имеет потенциал , электрод В – потенциал .

Требуется: 1) составить интегральное уравнение, которому подчиняется линейная плотность заряда на электроде А и аналогичное уравнение для электрода В; 2) для приближен-ного решения интегральных уравнений по п. 1 разделить каждый электрод на три участка одинаковой длины с неизвестными . Составить систему алгебраических уравнений для определения всех . Определить коэффициенты этой системы и, решив ее, найти закон распределения линейной плотности заряда вдоль оси электрода А. Вычислить емкость между электродами.

Рис. 20

Решение.

Поле заряженных электродов в плоскости рис. 20 зависит от координат z и r цилиндрической системы координат. Потенциал произвольной точки наблю-дения Н, лежащей в плоскости z0r, равен

где , ; - линейная плот-ность заряда в точке истока; - координаты точки истока; - коорди-наты точки наблюдения.

Помещая точку наблюдения на поверхность электрода А и учитывая, что при этом , получим уравнение относительно

Так как неизвестная находится под знаком интеграла, то данное уравнение является интегральным (интегральное уравнение Фредгольма первого рода). Аналогичное уравнение можно получить, если поместить точку наблюдения на поверхность электрода В и учесть, что

Для решения уравнения разбиваем каждый электрод на три равные части. Полагаем, что линейная плотность заряда на каждом участке неизменна и для участков электрода А равна , , , а для участков электрода В равна ,,. В дальнейшем будем учитывать, что , , . Помещая точку наблюдения поочередно на поверхность каждого участка в его середину и вынося из под каждого интеграла неизменные , получим шесть алгебраических уравнений с шестью неизвестными плотностями зарядов . Делая переход к матричной форме записи, будем иметь систему двух матричных уравнений, соответствующих уравнениям:

где - номер истока(участка) с линейной плотностью ; - номер точки наблюдения; - линейная плотность заряда в относи-тельных единицах. Элементы матрицы , играющие роль потенциальных коэффициентов, рассчитываем по следующим формулам:

а) при

;

б) при

;

в) при

где ;

г) при

где - соответственно верхние и нижние пределы изменения координаты точки истока. Следует учесть, что собственные потенциальные коэффициенты , а взаимные потенциальные коэффициенты в общем случае невзаимны, то есть .

Так как, ,, то для определения закона распределения заряда вдоль оси каждого электрода достаточно решить одно матричное уравнение в системе уравнений, например – первое, и учесть, что .

Емкость между электродами

где Q – полный заряд электрода; число участков.

Потенциал точки наблюдения Н, имеющей координаты , определяется из выражения

где потенциальные коэффициенты рассчитываются по формуле .

Расчет электрического поля в проводящей среде

методом интегральных уравнений.

Рекомендуемый порядок решения задач на расчет электрического поля в проводящей среде методом интегральных уравнений.

В соответствии с методом изображений дополнить соответствующий рисунок, указанный в задании, зеркальным изображением трубы, указав, как должен быть направлен ток в нем.
Воспользовавшись расчетной схемой п.1 и полагая потенциалы всех точек поверхности одинаковыми (удельная электропроводность очень велика) обозначить через ток, стекающий в землю с поверхности трубы единичной длины, и составить интегральное уравнение относительно .
Для приближенного решения интегрального уравнения п.2 разделить трубу и ее зеркальное изображение на три участка одинаковой длины с неизвестными на трубе и на изображении трубы; составить систему алгебраических уравнений для определения всех , где i=1, 2, 3. Определить коэффициенты этой системы и решить систему.
Полагая потенциал бесконечно удаленной точки поля равным нулю, определить потенциал поверхности трубы (заземлителя) .
Определить сопротивление растекания заземлителя .

Пример 5. Заземлителем служат две вертикально забитые в землю стальные трубы 1 и 2 (рис. 21 а), связанные между собой электрически. К заземлителю изолированными проводами подведен ток А.

Требуется: 1) найти распределение линейной плотности стекающих в землю токов по длине каждой трубы; 2) сопротивление растекания заземлителя и его потенциал, а также распределение потенциалов по поверхности земли в плоскости чертежа, если расстояния: , , , м. Удельная проводимость земли См/м.

Указание. Падением напряжения вдоль заземлителя пренебречь.

а) б)

Рис. 21

Решение.

Применяя метод зеркальных изображений, получим расчетную схему заземления (рис. 21 б). Поскольку , ток в каждой трубе можно считать сосредоточенным на оси проводов с неизвестной линейной плотностью , где - координата точки истока И. Потенциал произвольной точки Н в плоскости чертежа (точки наблюдения), обусловленный токами в трубах заземлителя и его изображений, с учетом симметрии относительно поверхности земли равен

где , .

Если точку Н поместить, например, на поверхность трубы 1, то при и ;.

Потенциалы всех точек поверхности трубы 1 можно считать одинаковыми и равными , так как удельная проводимость стали значительно больше проводимости земли. В результате, подставляя , получим интегральное уравнение 1 –го рода относительно неизвестной линейной плотности токов вида

Для приближенного решения интегрального уравнения провода 1 и 2 и их изображения разобьем на n одинаковых участков длиной со средней плот-ностью тока на каждом участке, где (возьмем ). Определим последовательно потенциал каждого участка трубы 1, где , полагая, что точка наблюдения Н помещается на середину поверхности участка, то есть в точки с координатами , . В результате получим уравнений: