6. Алгоритмика формирования древесных растений

Формирование строения дерева и его основных частей – корневой системы, ствола, кроны происходит в процессе роста в соответствии с наследственными свойствами и линиями наибольшего напряжения и выражается алгоритмикой строения и роста дерева и его частей. Рассматриваемый ниже материал представляет собой перевод второй главы книги «Алгоритмическая красота растений» Пшемыслава Прущинкевича и Аристида Линденмайера (The Algorithmic Beauty of Plants, Aristid Lindenmayer, Przemyslaw Prusinkiewicz), и является продолжением замечательной статьи «L-Systems – математическая красота растений» [18].

П. Прущинкевич и А. Линденмайер на примере формирования кроны дерева показали биологический механизм дифференцировки клеток, тканей и органов. Закономерности дифференцировки кроны распространяются на ствол и корневую систему дерева; важно на научном уровне выявить эти закономерности и выразить их в виде алгоритмической математической модели строения и роста дерева и основных его частей.

«Первые модели. Компьютерное моделирование процессов ветвления деревьев имеет относительно долгую историю. Первая модель, предложенная Юлэмом, была основана на концепции клеточных автоматов, разработанной фон Нейманом. Процесс ветвления осуществлялся итерациями, и начинался с одной окрашенной клетки на треугольной сетке, потом окрашивались те, которые касались одной и только одной вершиной клеток, окрашенных в предыдущей итерации. Далее эту идею развили. Мейнхардт заменил треугольную сетку квадратной, и использовал полученное клеточное пространство, чтобы проверить биологические гипотезы формирования структур сетей. В дополнении к чистому процессу ветвления его модель учитывала эффекты повторных соединений или анастомоза, которые могли возникать между листьями или, например, венами.

Грин переписал клеточный автомат для трех измерений и моделировал процессы роста, которые учитывали окружающую среду. Модели Кохена учитывали в правилах роста понятие «плотности поля», что оказалось лучше, чем, например, работа с дискретными клетками.

Общая особенность этих подходов – акцент на взаимодействии как между разными элементами структуры, так и структуры с окружающей средой. И хотя это взаимодействие, очевидно, влияет на рост реальных растений, его моделирование является очень сложной задачей. Поэтому сегодня более распространены простые модели, игнорирующие даже такие фундаментальные вещи, как столкновение между ветками».

«Модель Хонды. Хонда предложил первую модель в категории простых (рис. 12), и сделал следующие допущения:

• сегменты дерева прямые, площадь их поперечного сечения не рассматривается;

• в течение итерации материнский сегмент производит два дочерних;

• длина двух дочерних сегментов короче материнского в   и   раз;

• материнский сегмент и два его дочерних находятся в одной плоскости ветвления. Дочерние сегменты выходят из материнского под углами ветвления   и  ;

• в связи с действием гравитационной силы плоскость ветвления является «ближайшей к горизонтальной плоскости», иными словами, линия, перпендикулярная материнскому сегменту и лежащая в плоскости ветки — горизонтальная. Исключение делается для веток, присоединенных к главному стволу. В этом случае используется постоянный угол расхождения  .

Рис. 12. Геометрия дерева согласно Хонде.

Варьируя численные параметры, Хонда получил большое разнообразие древоподобных форм. С некоторыми улучшениями, его модели были применены к изучению процессов ветвления реальных деревьев. Впоследствии, были предложены разные правила для углов ветвления, для того, чтобы охватить также структуры деревьев, в которых плоскости дальнейших разветвлений перпендикулярны друг другу. Результаты Хонды послужили основой для моделей, предложенных Эоно и Кьюниай. Они предложили несколько улучшений, самым важным из которых был поворот сегментов в определенных направлениях, соответствующих стремлению веток к солнцу, учёту ветра и гравитации. Похожая концепция была предложена Кохеном, а Рефай и Армстронг разработали более точный с физической точки зрения метод «изгиба» веток.

В моделях Хонды, Эоно и Кьюниай использовались прямые линии постоянной или переменной ширины для построения «древесного скелета». Значительного улучшения фотореализма синтезируемых моделей достигли Блуменфел и Оппенхеймер, которые представили изгибающиеся ветки, тщательно смоделировали поверхности вокруг узлов ветвления, и наложили текстуры на кору и листья.

В работе Хонды структуры ветвления строилась согласно детерминированным алгоритмам. Напротив, в группе моделей, предложенных другими исследователями, использовались стохастические законы. Хотя эти модели построены по-другому, они разделяют общую парадигму описания структуры деревьев, в частности, расчёт возможностей формирования веток».