Формула Пуассона

Якщо ймовірність р появи події А в окремому випробуванні близька до нуля, то навіть при великих n значення ймовірності, обчислюване за локальною теоремою Лапласа, виявляється недостатньо точним. В таких випадках використовують формулу, одержану Пуассоном.

Теорема Пуассона. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна, але мала, число незалежних випробувань n достатньо велике, а λ = np<10, то ймовірність того, що в п випробуваннях подія А наступить рівно k разів приблизно рівна

Для формули Пуассона наведені значення функції P_n(k) в таблиці 3 (Додатки )

Приклад 3. Ймовірність виготовлення нестандартної деталі рівна 0,004. Знайти ймовірність того, що серед 1000 деталей виявиться 5 нестандартних.

Розв ' язання. Маємо n=1000, р=0,004, тобто виконані вимоги теореми Пуассона λ=np = 1000‧0,004=4 < 10. За таблицєю 3 функції Пуассона при, k=5 одержємо:

Знайдемо ймовірність тієї ж події за локальною теоремою Лапласа.

Маємо n =1000, p = 0,004, k = 5,

Точне значення надає формула Бернулі:

Таким чином, у даному випадку формула Пуассона дає набагато більш точне наближення, ніж формула Лапласа.

Інтегральна теорема Лапласа

Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р (0 < р <1), подія наступить не менше k₁ разів і не більше k₂ разів (байдуже в якій послідовності), приблизно рівна (тим точніше, чим більше n):

- інтегральна функція Лапласа;

- аргументи інтегральної функції розподілу;

q = (1 - р) - ймовірність протилежної події.

Властивості функції Ф(х):

1. функція Ф(х) - парна, Ф(-х) = Ф(х);

2. "^{|х|>5, Ф(x) = 0,5.}

У Додатках наведена таблиця 2 значень функції Ф(х) від додатного аргументу х.

Приклад 4. Ймовірність влучення у мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах, мішень буде вражена: а) рівно 75 разів; б) не менше 75 разів.

Внаслідок пар-

Розв'язання. а) за умовою задачі проводиться n = 100 незалежних випробувань з ймовірністю появи події в кожному р = 0,8. Визначимо шукану ймовірність за допомогою локальної теореми Лапласа. Для цього заздалегідь обчислимо вирази:

Внаслідок парності функції Гаусса φ(-1,25) = φ(1,25) = 0,1826 . Шукана ймовірність

.

б) Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах, мішень буде вражена не менше 75 разів. Скористаємось інтегральною теоремою Лапласа при n=100; p=0,8; k₁=75; k₂=100:

P(75;100) = Ф(х₂) – Ф(х₁)=Ф(5) – Ф(=1,25) = 0,4999 + 0,3944 = 0,8944.

Приклад 5. Ймовірність відвідування студентом будь-якої лекції за курсом "Теорія ймовірностей" дорівнює р = 0,9. Визначити ймовірність відвідування студентом не менше 12 лекцій з 16 запланованих у семестрі, якщо ймовірність його появи на будь-якій лекції складає 0,9.

Розв'язання. За умовою задачі проводиться п = 16 незалежних випробувань з ймовірністю появи події в кожному р = 0,9. Визначимо шукану ймовірність за допомогою інтегральної теореми Лапласа:

P₁₆(12;16) = Ф(1,33) – Ф(-2)= 0,1647 + 0,4082 = 0,5729.

Таким чином, шукана ймовірність Р₁₆(12;16) = 0,5729.