Радиус – вектор және эксецнтриситет

Осы тараудың 1 – параграфында гиперболаның жабайы теңдеуін дәлелдегенде мынадай теңдік шықты: Сызбадан F₂M =R₂ =

Анықтама бойынша R₁ - R₂ =2а Осыдан R₁- ді табайық:

R₁ =2а + R₂ =2а + R₁ =а +

Сонымен R₁ мен R₂ - нің мәндері мынадай болады

R₁ = + а R₂ = (4)

Бұл теңдіктер гиперболаның радиус – векторларының формулалары деп аталады. Гиперболаның екі фокусының ара қашықтығының нақты осіне қатынасы гиперболаның эксецнтриситеті деп аталады. Эксецнтриситет е әріпімен белгіленеді

е = (5)

с² – а² =в² Формуласынан с>а, яғни с – тің а – дан артық екенін көреміз. Сонықтан Гиперболаның эксецнтриситеті әрқашанда бірден артық болады е > 1

( - бұрыс бөлшек)

(4 ) формулаға е – нің мәнін қойсақ мынау шығады R₁ = ех+а R₂ =ех-а (4^\)

Егер радиу – вектор F₂M =R₂ абцисса осіне перпендикуляр болса онда х =с,

R₁ = с + а, R₂ = с – а, яғни R₁ = R₂ = болады. (2) теңдікті

қолдансақ, R₂ = , ал R₂ =р деп белгілесек, р = (6)

Бұл формула фокальдық радиус – вектордың формуласы деп аталады. R₂=р – фокальдық радиус – вектор.

Гиперболаның асимптоталары.

Анықтама: гиперболаның асимптотасы деп, координатаның бас нүктесінен өтетін және гиперболаның тармақтарымен шексіз алыстағынүктелерге кездестін түзуді айтамыз.

Гиперболаның теңдеуі және координаталардың бас нүктесінен өтетін түзудің теңдеуі берілген.

Соңғы теңдеудегі игректі бас әріппен белгіледік гиперболаның теңдеуін у арқылы шешіп у = оның плюс таңбалы мәнін алайық: у =+

У = теңдеуі мен у = теңдеуінің айырымын табайық:

У- у =

Алдағы мақсат – х шекізге ұмтылғанда (х ) бас әріппен белгіленген. У пен кіші әріппен белгіленгенн у – тің айырымы неге ұмтылатындығын табу.

Басқаша айтқанда, гипербола мен осы түзудің қиылысатын нүктесі бар ма? Қойылған сұраққа жауап беру үшін жоғарғы жазылған теңдіктің оң жағын түйіндес шамаға көбейтіп және оған бөліп түрлендірейік

У- у = = У- у = =

Осыдан

Lіm(У- у) = lіm Lіm(У- у) = =0 Lіm(У- у) =0

Демек, түзу мен гипербола шексізде қиылысады х – тің мәні өскен сайын екі функцияның айырымы нольге ұмтылып, түзу гиперболаның тармағына жақындай береді. Мұндай түзу гиперболаның асимптотасы деп аталады. Гиперболаның асимптотасы әрқашанда екеу болады.

Олардың теңдеулері

y = + y = - (7)

Мұндағы а мен б – гиперболаның жарты осьтері

Бұл екі теңдеуді басқаша жазуға болады

немесе

яғни

Сызбадан МД = У, М₁Д = у, ОД = х, ММ₁ = МД = М₁Д – М₁Д = У – у, МД Ох

Гиперболаның грфигін құру үшін, оның асимптоталарыныңграфиктерін пайдаланған жөн

1 – мысал. гиперболаның теңдеуі берілген. Оның асимптоталарының теңдеуін жазайық

Шешуі: асимптоталардың формуласы (7) бойынша