7. Түзудің векторлық және параметрлік теңдеулері. Түзудің бағыттаушы косинустары.

К еңістікте бір ВМ векторы В(a,b,c) нүктесінен өтіп, координаталар осьтерімен бұрыштарын жасасын. Осы ВМ векторының бойында жатқан түзудің теңдеуін іздейік. М осы түзудің бойындағы кез-келген нүкте болсынҮ М(x,y,z). Координаталардың бас нүктесінен ВМ векторына екі вектор жүргізейік. (156-сызба)

z

M(x,y,z)

B(a,b,c)

R₁ tӘ

R

0 x

y

O M=R , OB=R₁. Ал ВМ векторын ВМ=t әрпімен белгілейік. Осы вектордың бойындағы бірлік векторды t⁰ деп белгілейік. Векторларды қосу ережесі бойынша OM=ОВ+ВМ немесе

R=R₁+t⁰t . (11)

Бұл теңдеу түзудің векторлық теңдеуі болады. Енді OM= R векторын үш оське проекцияласақ, онда проекциялау теориясы бойынша (156-сызба):

пр_х R= x, пр_хR₁+пр_хt ,

пр_y R= y, пр_yR₁+пр_yt ,

пр_z R= z, пр_zR₁+пр_zt

немесе x,y,z-тің мәндерін берілген элементтер арқылы жазып, t-ні шығарып тастайық:

x=a+tсos

y=b+tcos

z=c+tcos

.

Осыдан :

(12)

Енді осы (12) теңдеуді түрлендірейік. Ол үшін (12) теңдеудің бөлімін k санына көбейтейік:

немесе

,

мұндағы

m=k cos

n=k cos (13)

l=k cos .

Осыдан түзудің бағыттаушы косинустарын табайық:

m²+n²+l²=k²(cos² + cos² + cos² ) ,

cos² + cos² + cos² =1 ,

m²+n²+l²=k²

(14)

k-нің мәнін (13) теңдікке қояйық:

, ,

(15)

Бұл теңдеулер кеңістіктегі түзудің бағыттаушы косинустарының формуласы деп аталады.

Сонымен, түзудің параметрлері белгілі болса (m, n, l), онда түзудің үш осьтерімен жасайтын бұрыштарын табуға болады.

Егер түзудің жабайы теңдеулерін алып, оның қатынасын t параметрі арқылы белгілесек,

,

онда түзудің параметрлік теңдеулері шығады:

x=a+mt,

y=b+nt,

z=c+t,

мұндағы x,y,z- тер t параметріне тәуелді. Сөйтіп, бұл параграфта түзудің үш түрлі теңдеулерінің өз ара байланыстарын қарастырдық:

1. R₂=R₁+t⁰t – векторлық теңдеу

2. - пропорциялық теңдеу

3. x=a+mt

y=b+n t - параметрлік теңдеулер

z=c+lt

Екі түзудің қиылысуы.

Кеңістіктегі екі түзудің жабайы теңдеулері берілсін:

Бұл екі түзу бір нүктеде қиылысса, онда осы теңдеулерді әлгі нүктенің координаталары қанағаттандырады. Сондықтан осы екі теңдеуден x,y,z- ті шығарып, қалған сандардың өзара байланыстарын табайық:

.

Осы үш теңдеуден параметрлерін шығарып, екі түзудің қиылысу шартын табайық:

(17)

Осы (17) формула әрқашанда екі түзудің қиылысу шартын көрсетеді, яғни екі түзу бір нүктеде қиылысса, онда осы теңдеу орындалады.

: