Лекция. Тақырыбы: Проективтік кеңістік.
Проективтік
түрлендіру туралы ұғым.
Кеңістікте өз ара параллель болатын не
параллель болмайтын
,
жазықтықтары және осы жазықтықтардың
бетінде жатпайтын проекцияның центрі
деп аталады О нүктесі берілсін. Енді
О нүктесін берілген жазықтықтарға
прекцияласақ,онда s жазықтығындағы
әрбір P нүктесіне
жазықтығындағы әрбір
нүктесі сәйкес келеді де, P,
нүктелері бір түзудің бойында жатады
және ол түзу O нүктесінен өтеді .Мұндай
проекция центрлік проекция деп
аталады.Проекцияланатын түзулер
параллель болса, онда параллельдік
проеция орындалады.
Түзудің немесе қисықтың прекцияларын да жоғарғыдағыдай анықтауға болады. Бұл жағдайда проекция не центірлік не паралелдік болады.
Бір геометриялық бейненің екінші геометриялық бейнеге проекциясы проективтік түрлендіру деп аталады. Басқаша айтқанда, бір пішінді екінші пішінге прекцияланғанда онан шыққан геометриялық бейнені проективтік түрлендіру дейміз. Проективтік түрлендірудің қасиеттері мынау: нүктенің проекциясы нүкте, түзудің прекциясы түзу болады.
Егер түзу бір нүктеден өтсе немесе нүкте түзудің бойында жатса, онда нүктемен түзу өз ара коллинеар деп аталады.
Егер бір жазықтықтағы үш немесе үштен көп түзу бір нүктеден өтсе, онда ол үшін түзу конкуренттік түзулер деп аталады.
Паралель проекция
Қос
қатынас. Бшр
түзудің бйындағы A, B, C, D нүктелері
проекцияланғанда
,
,
,
нүктелеріне көшіп, төрт нүктенің қос
қатынасының мәні өзгермейді, яғни төрт
нүктенің қос қатынасы проекцияланғанда
инвариант болады.
Екі
қатынасты құрайық:
және
.
Осы екі қатынастың өз ара қатынасын қос
қатынас дейміз және оны былайша
белгілейміз:
.
Екі
<><түзудің
><><><бойындағы
нүктелердің проективтік қасиеттері
мына
теңдікпен рындалады. Осыны дәлелдейік.
Бұл қос қатынастың инвариант екенін
көрсету үшін 217- сызбадан үшбурыштардың
аудандарын өрнектейік. Үшбурыштың
ауданы табанын биіктігінің жартысына
көбейткенге тең немесе екі қабырғасының
жартысының көбейтіндісін олардың
арасындағы бұрыштың синусына көбейткенге
тең:
.
.
.
.
Осында
.
Сонымен A, B, C, D нүктелерінің қос қатынасы жоғарғы жазылған бұрыштарға тәуелді, ал бұл бұрыштардың мәндері проекцияланғаннан өзгермейді. Ендеше, қос қатнас проекцияланғанда инвариянт болады:
,
мұндағы
,
,
,
.
Алынған түзудің оң бағытына сәйкес
барлық төрт кесіндіні оң таңбалы деп
алсақ, онда қос қатынас әрқашанда оң
таңбалы болады, кесінділердің таңбалары
алынған бағытқа қарама – қарсы болса,
онда қос қатынастың таңбасы теріс
болады.
Егер B мен C-нің орындары алмасса, онда (ABCD)< 0 болады. Егер төрт нүктені абсцисса щсіну сәйкес алып, қос қатынас құрсақ, онда мынау шығады:
.
Егер
C мен D нүктелері немесе A мен B нүктелері
үйлессе, онда (ABCD)=1 болады. Мысалы
болса, онда
.
Егер
C және D нүктелері AB кесіндінің ішінде
не сыртында жатса, онда (ABCD)- нің таңбасы
теріс болады. Қос қатынастың қандай
болуы оның әріптерінің реттеріне
байланысты. Мысалы (ABCD)=λ болса, онда
немесе
болады.
Угер (ABCD)=-1 болса, онда A, B, C, D нүктелері гармоникалық нүктелер деп аталады. Бұл жағдайда C мен D нүктелері A мен B нүктелеріне қарағанда өз ара гармоникалық түйіндес нүктелер деп аталады.
Қос қатынасты (ABCD) төрт нүктенің күрделі қатынасы немесе ангармоникалық қатынас деп атайды.