§10.Екінші ретті беттің дөңгелектік қималары.

Егер екінші ретті бетке жазықтық жүргізгенде оның қимасы шеңбер болса, онда мұндай қиманы екінші ретті беттің дөңгелектік қимасы дейміз. Екінші ретті беттің нүктелерінде жанама жазықтықтар дөңгелектік қималарға параллель болса, онда мұндай нүктелерді дөңгелену нүктелері дейміз. Ең алдымен екінші ретті беттің дөңгелектік қима-ларының теңдеулерін қорытып шығарайық. Сонан кейін дөңгелену .нүктелерінің координаталарын табатын формулаларды келтірейік.

1) Әуелі эллипсоидтың теңдеуін алайық:

x² у² z²

^{_____ + ______} + ^______ - 1= 0

а² b² с²

Енді координаталардың бас нүктесінен ететін шардың

x² у² z²

^{_____ + ______} + ^______ - 1= 0

R² R² R²

т еңдеуін эллипсоидтың теңдеуінен алсақ, онда мынадай теңдеу шығады:

1 1 1 1 1 1

^____ - ^______ x² + ^______ - ^____ у² + ^______ - ^______ z² = 0 (26)

а² R² b² R² c² R²

Бұл теңдеу эллипсоид пен шардың қиылысатын сызығынан өтетін екінші ретті бетті сипаттайды. Дәлірек айтқанда, бұл теңдеу төбесі координаталардың бас нүктесінде болатын конустық бетті сипаттайды. Егер (26) теңдеудің коэффициенттерінің біреуі нольге тең болса, онда ол екі жазықтықтың теңдеулерін береді. Мысалы, а>b>с болғанда, мына коэффициент ноль болсын:

1 1

— - — = 0

c² R²

Сонда (26) теңдеуден мынадай теңдеулерді табамыз:

1 1 1 1

(— - — )х²- ( — - — )у^{2 =} 0,

а² с² b² с²

1 1 1 1

(— - — )х² – ( — - — ) у² = 0

а² с² b² с²

немесе

——— х = ——— = 0. (27)

а b

Қойылған шарт бойынша а>b>с. Сондықтан эллипсоидтың бұл қималары жорымал болады.

Енді 1 1

— - — = 0

b² R²

болса,онда (26) теңдеуді жоғарғыдай түрлендіріп, мынаны табамыз:

———x = ——— z = 0,

b c

мұндағы а >b> c болғандықтан,(28) қималар нақты болады.Бұл жазықтықтар екінші ретті бетті шеңбердің бойымен қияды.

Сонымен, (26) теңдеуден жазықтықтардың дөңгелектік қималарының үш түрлі теңдеуі шығады:

1 1 1 1 1 1

— = — , ( — - — )х² + ( — - — )у² = 0, (27)

с² R² а² с² b² c²

1 1 1 1 1 1

— = — , ( — - — )x² + ( — - — )z² = 0, (28)

b² R² a² b² c² b²

1 1 1 1 1 1

— = — , ( — - — )y² + ( — - — )z² + 0. (29)

a² R² b² a² c² a²

Осылардың әрқайсысы дөңгелектік екі қима жазықтықтарды береді.Ал а>b>с болғандықтан,дөңгелектік нақты жазықтықтар (28) теңдеулермен сипатталады,яғни (28) теңдеу нақты қималарды көрсетеді,қалған (27 және 29) теңдеулер жорымал қималарды береді.Сөйтіп (28) теңдеулер мына екі теңдеуден құрылған:

——— x + ——— z = 0, (28')

a c

——— x - ——— z = 0.

a c

Енді (28) теңдеулерінің екі жазықтығына параллель жазықтықтар былайша жазылады:

———х + ——— + u₁ = 0,

а с

——— х - ——— + u₂ = 0, (30)

а с

Бұл (30) жазықтықтар — эллипсоидтың ценгрінен ететін (28') жазықтыктарына параллель болатын жазықтықтар. Мұндағы u₁ және u₂ кез келген параметрлерді көрсетеді.

Сонымен, қорыта келгенде эллипсоидтың центрінен өтетін дөнгелектік жазықтықтарға параллель болатын кез келген жазықтықтар эллипсоидтың деңгелектік қималары болады.

Бір қуысты гиперболидтың дөңгелектік қималарының теңдңулері де осы әдіспен шығады.Оның дөңгелектік қималарының нақты жазықтықтары мынадай болады:

1 1 1 1

( — - — )y² – ( — + — )z² = 0

b² a² c² a²

немесе

——— y Ғ ——— z = 0. (30')

b c

Бір қуысты гиперболаның бұдан басқа дөңгелектік қималары жорымал болады.

Екі қуысты гиперболоидтың дөңгелектік қималарының нақты жазықтарының теңдеулері:

——— y Ғ ——— z = 0.

b c

(30') жазықтықтарына пареллель қима жазықтықтар мынадай болады:

у z

— + — +u₁ = 0,

b c

y z

— - — + u₂= 0, (30'')

b c

мұндағы a > b.Енді

х² y²

—— + —— - 2z = 0

p q

эллипстік параболидты алайық.Мұның төбесінен өтетін бір

х² + у² + (z – R )² – R² = 0

шарды алып ,оның теңдеуіне сәйкес эллипстік параболидтың теңдеуін алсақ , онда мынадай теңдеу шығады:

1 1 1 1 z²

( — - — )x² + ( — - — )y² + — = 0. (31)

R² p R² q R

Шардың теңдеуін былайша жазуға болады:

х² + у² + ( z- R)² – R² = 0

немесе

х² y² z²

— + — + — - 2z = 0.

R R R

(31) теңдеудегі ең соңғы мүше

= = .

(31) теңдеуі шар мен параболидтың қиылысатын сызығынан өтетін және төбесі координаталардың басында жатқан конустық бетті сипаттайды.(31) теңдеудің сол жағындағы коэфициенттер

, болса , онда конус екі жазықтыққа айналады.Егер p>q және болса , онда дөңгелектік қималардың теңдеуі мынадай болады:

у²( ) + , (31')

мұндағы , .

(31') теңдеуі —екі дөңгелектік жазықтықтың теңдеулері . Олар мынадай түрде жіктеледі:

( , ( ) ( ) = 0

немесе

( )( ) = 0. (31'')

Осы жазықтықтарға параллель жазықтықтар эллипстік параболоидты шеңбердің бойымен қияды, яғни бұл теңдеулер параболоидтың дөңгелектік екі қимасын сипаттайды. Соңғы (31'') теңдеуді -ға қысқартып,жекелеп жазсақ,мынадай болады:

у +z = 0,

y - z = 0. (31''')

Енді осы жазықтықтарға параллель дөңгелектік жазықтықтардың теңдеулері былайша жазылады:

у + z + u₁=0, (31'''')

y - z + u₂ = 0.

Мұндағы u₁ , u₂ —параметрлер.

(31'''') теңдеулері эллипстік параболидтың дөңгелектік (қимасындағы) кез келген параллель жазықтықтарын сипаттайды.

2) Дөңгелену нүктелерінің координаталарын анықтайтын формулаларды шығарайық. Эллипсойтың жанасу нүктесінің координаталары х_{1 ,}у_1, z₁ болсын. Онда.

хх₁ уу₁ z z ₁

^_____ + ^______ + ^______ - 1= 0

а² b² с²

жанама жазықтығы (28') тендеудің екі жазықтығына параллель болғандықтан, мына

x₁ y₁ z

^_____: = ^_____ : 0 = ^_____ : Ғ

а b c

шарттар орындалады, яғни бұл — екі жазықтықтың параллельдік шарттары. Енді эллипсоидтың теңдеуі мен бұл теңдеулерді біріктіріп шығарайық:

х²₁ у₁² z ²₁

^_____ + ^______ + ^______ - 1= 0

а² b² с²

х₁ у₁ z ₁

^{_____ ______ ______} - 1= 0 ,

а b с

________ = _________ ___________

V a² – b² 0 Ғ V b² – c²

y₁ = 0, сонда

Соңғы теңдеулер системасынан:

,

, (32)

y₁= 0.

Сөйтіп,эллипсоидтың дөңгелену нүктелерінің координаталары осы формулалармен анықталады. Екі қуысты гиперболоидтың дөңгелену нүктелерінің кординаталарын осы әдіспен табамыз:

х₁= 0,

(32' )

.

Бір қуысты гиперболоидтың нақты дөңгелену координаталары тіпті жоқ..Эллипстік параболидтың дөңгелену координаталары жоғарғы айтылған әдіспен табылады:

, х₁=0,

Сөйтіп ,дөңгелектену нүктелерінің координаталары былай анықталады:

х²= 0,

, (32'')

мұндағы p>q. р және q раметрлерінің сандық мәндері берілсе,дөңгелену координаталары осы (32'') формуласымен табылады.

1-мысал. Мына эллипсоидтың дөңгелену нүктелерін табайық..

Шешуі . (32) формула бойынша:

= z₁= , y₁= 0.

M₁( 0, , M₁(- 0, - ).

2-мысал. Мына эллипстік параболоидтың дөңгелену нүктелерін және дөңгелек қималарының жазықтықтарын табайық..

Шешуі. (32'') формула бойынша дөңгелену нүктелерін табайық :

x₁=0, = z₁=

M₁(0, 2 ), M₂(0, - 2 ) 7

Дөңгелек қималарының формулалары :

+ z + u₁ = 0,

- z + u₂ = 0.

Іздеп отырған дөңгелек қималарының жазықтықтары :