§ 9.Гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушылары. Гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушыларының теңдеулерін шығару үшін, гиперболалық параболоидтың теңдеуін түрлендірейік:

х² у²

^_____ ― ^______ = z, (25)

2р 2q

х у х у

^________ + ^{________ ________} ― ^________ = z.

Осыдан екі теңдеулер системасын құрайық:

х у

^________ + ^________ = k₁

х у 1

^________ + ^________ = ^________ z

k₁

х у

^________ + ^________ = k₂

х у х

^________ + ^________ = ^________ z.

k₂

мұндағы k₁ k₂ ― еркінше алынған сандар ― параметрлер.

Осы теңдеулердің әрқайсысы жазықтықты кескіндейді, екі (І), (ІІ) теңдеудің жиындылары екі түзуді береді. Бұл түзулер гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушылары деп аталады (181 және 182-сызбалар). Осы (І), (ІІ) теңдеулеріндегі х, у, z ағымдық координаталардың мәндері гиперболалық параболоидтың теңдеуін қанағаттандырады. Сондықтан түзу сызықты жасаушылар гиперболалық параболоидтың бетінде жатады. Бір қуысты гиперболоид сияқты гиперболалық параболоидтың әрбір нүктесінен екі

181-сызба. 182-сызба.

түзу сызықты жасаушылар өтеді, оның біреуі әрқашанда бірінші системадан болса, ал екіншісі әрқашанда екінші системадан болады (181 және 182-сызбалар). Бір системаның түзулері өз ара қиылыспайды. Сейтіп, мұнда екі түрлі түзулер үйірімі болады. Бұл түзулердің біреуі бірінші системамен (І), екіншісі екінші (ІІ) системамен кескінделеді. k₁ және k₂ параметрлерінің мәндеріне байланысты түзулер үйірімінің осыларға сәйкес теңдеулері шығады. Берілген есептің шарты бойынша k₁және k₂ параметрлердің мәндерін табуға болады. Табылған теңдеулері арқылы гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушыларының тік бұрышты координаталар системасында қандай болып өтетінін карастыру киын емес.

Мысал.Мына Зх — 2у — 4 z = 0 жазықтығында параллель болатын

х² у²

— - — = 2 гиперболалык параболоидтың түзу сызықты

8 2

жасаушыларын табайық.

Ш е ш у і.

х² у² х² у²

^_____ ― ^______ = 2 z, ^_____ ― ^______ = z,

2 2 4 2

х² у² х² у²

^_____ + ^{______ _____} ― ^______ = z.

4 2 16 4

Осыдан

х у

^_____ + ^______ = k

4 2

х у z

^_____ - ^______ = ^______

4 2 k

Бұл екі теңдеуді қолайлы түрге келтіру үшін әуелі оларды косайық, сонан кейін бірінен-бірін алайық. Сонда

х z х-2 k z

^_____ = k + ^______ , ^{____ ______} = ^______ ,

4 k 2 k

у у z z

^_____ + ^______ = k - ^______ , у – k = - ^______ ,

2 2 k k

z х-2k k-у z

k - у= ^______ , ^______ = ^______ = ^______ .

k 2 1 k

Есептің шарты бойынша бұл түзу берілген Зх—2у—4г = 0 жа-зыктығына параллель. Сондықтан

3 • 2 — 2 • 1—4• k = 0, 6-2-4 k = 0, k =1.

Гиперболалық параболоидтың түзу сызықты жасаушыларының біреуінің теңдеуі

Х -2 у -1 z

^______ = ^______ = ^______ .

2 -1 1

Енді екінші теңдеуін табайық:

х у

— - — = l

4. 2

х у z

— + — = —

4 2 l

Осы екі теңдеуді әуелі қосайык, сонан кейін бір-бірінен алып тастайық. Сонда

х z х-2 l z

^_____ = L + ^______ , ^{____ ______} = ^______ ,

2 l 2 l

z z

- у= l- ^______ , y+l= ^{______ ,}

l l

x-2l у+ l z

^_____ = ^______ = ^______ ,

2 1 l

Түзу мен жазықтықтың параллельдік шарты бойынша параметрін тауып, іздеген екінші жасаушы түзудің теңдеуін жазанық:

6-2-4 l = 0, l =1;

x - 2 у+ 1 z

^_____ = ^______ = ^______ .

2 1 1