§ 4. Эллипсоид. Эллипсоид деп мынадай

(15)

теңдеуімен анықталатын геометриялық бетті айтамыз. Бұл теңдеуді қарастырудан бұрын мына мәселеге тоқталайық. Кеңістіктегі геометрияда айналмалы геометриялық беттер жиі кездеседі. Мысалы: айналмалы цилиндр, айналмалы конус немесе айналмалы эллипсоид. Қысқаша айтқанда, айналмалы екінші ретті бет дегеніміз не?

Айналмалы бет деп бір берілген түзудің немесе қисық сызықтың берілген түзуден айнала қозғалуынан шыққан бетті айтамыз. Бұл

айналмалы бет қозғалғанда,

оның әрбір нүктесі шеңбер

сызады. Берілген түзу сол

шеңбердің жазықтығына

әрқашанда перпендикуляр

болады және оның центрінен

өтеді. Бұл түзу айналу осі

деп аталады.

хОу жазықтығында бір (L)

сызығы бізге мынадай

F(X,Y)=0 теңдеуімен

берілсін. Осы (L) сызығының

абсцисса осінен айналғанда

170-сызба шығатын беттің теңдеуін

іздейік.

Тік бұрышты координаталар системасында (L) сызығын жүргізейік (170-сызба). Айналмалы беттегі кез келген бір нүктесін алып, одан абсцисса осіне перпендикулярын жүргізейік. Одан кейін нүктесінен хОу жазықтығындағы Ох осіне перпендикуляр орнатайық. Осы перпендикулярдың берілген (L) сызығымен қиылысатын нүктесі болсын. Бұл нүктенің Ох осінен қашықтығы нүктесінің осы осьтен қашықтығындай болады: . нүктесі (L) сызығының бойында жатқандықтан, оның координаталары мына берілген F(X,Y)=0 теңдеуін қанағаттандырады: ,

Сондықтан

, , - нүктелері yOz жазықтығына параллель жазықтықта жатқандықтан, x=X .

Ендеше, мына F(X,Y)=0 теңдеуіндегі Х пен У – тің орнына x=X, қойып мынаны табамыз:

,

немесе

(16)

Сөйтіп, ХОУ жазықтығындағы Ғ(х, у) теңдеуімен берілген бір (L) сызығы ОХ осінен айналса, онда айналмалы беттің теңдеуі мынадай болады:

мұндағы х, у, z – кеңістіктегі нүктенің координаталары, Ох осі ОХ осімен, Оу осі ОУ осімен үйлеседі. 1-мысал. Түзудің хОу жазықтығында у = х теңдеуі берілсін. Егер осы түзуді Ох осінен айналдырсак, онда (16) формула бойынша мынадай теңдеу шығады:

немесе

,

.

Бұл - төбесі координаталардың бас нүктесінде жатқан конустық беттің теңдеуі. Сонымен, у = х биссектрисасының абсцисса осінен айналғаннан шықкан кеңістіктегі геометриялық бейнесі конус болады. Оның теңдеуі:

2-Мысал. Егер хОу жазықтығындағы х² + у² = R² шеңберін абсцисса осінен айналдырсақ, онда айналмалы бет сфера болады. Оның теңдеуі формуласы бойынша былай жазылады:

.

Егер , эллипсті Ох осінен айналдырсақ, онда

немесе

Бүл айналмалы эллипсоид деп аталады. Егер осы айналмалы эллипсоидты у осінің бойымен созсақ, онда немесе у'=-үУ болады. Мұндағы b>с – кесінділер. Айналмалы эллипсоидтың теңдеуі болсын.

Енді - тің мәнін осы теңдеуге қойып, эллипсоидтың теңдеуін табайык:

Гиперболалық параболоид.

Тік бүрышты координаталар системасында

х² у²

^_____ ― ^______ = 2z

р q

теңдеуімен кескінделетін екінші ретті бетті гиперболалық параболоид деп атаймыз. Мұнда р > 0, q > 0. Берілген тендеудегі х, у ағымдық координаталық екінші дәрежелі болғандықтан, бұл екінші ретті бет у z,

хz жазыктықтарына және О z апликата осіне қарағанда симметриялы болады. Екінші ретті беттің ху жазықтығымен қиылысатын сызығын анықтау үшін z-ті нольге тең деп алайык. Енді теңдеу былайша түрленеді:

х² у² х у х у

^_____ ― ^______ = 0, ^________ + ^{________ ________} ― ^________ = 0,

2р 2q

х у

^________ + ^________ = 0,

(І)

х у

^________ + ^________ = 0.

Бұл теңдеулер ху жазықтығындағы екі түзуді кескіндейді, Бұл түзулер координаталардың бас нүкгесінен өтеді және Ох, Оу осьтеріне симметриялы болады. Гиперболалык параболопдка z = Һ жазықтығын жүргізсек, онда оның ху жазыктығындағы параллель қимасы гипербола болады:

х² у² х² у²

^_____ ― ^______ = h; ^_____ ― ^______ = 1 ( ІІ )

2 р 2 q 2 рh 2h

Гиперболаның жарты осьтері а₁= , b₁ = . Гипербола төбелерінің арасы 2а = 2 . h өскен сайын гипербола осі өсіп отырады. Бұл жағдайда гиперболалык параболоид ху жазыктығының үстінде, Ох осінің бағытымен шексізге дейін кетеді. h азапған сайын қима жазықтығы төмендей береді. z = Һ = 0 болғанда қима жазықтығы ху жазықтығымен беттеседі.

Егер екінші ретті бетті z = - Һ жазықтығымен қисақ, онда оның қимасындағы сызық тағы да гипербола болады:

х² у²

^_____ ― ^______ = - h

2 р 2 q

немесе

х² у²

^_____ ― ^______ = 1 . (ІІІ)

2 q h 2р h

Бұл гиперболадағы нақты жарты ось b₁ = , жорымал жарты ось а₁ = .

Екінші (ІІ) теңдеу мен үшінші (ІІІ) теңдеудің айырмасы, олардың осьтерінін алмасатындығында.

h өскен сайын z =—h жазыктығы төмендейді. хг жазықтығы гиперболалық параболоидты х² = 2р z параболаның бойымен қияды,

179-сызба.

яғнн егер у = 0 болса. онда у² = 2р z болады. Егер х = 0 болса, онда у² = — 2qz болады.

Осы шыккан қорытындыларды пайдаланып гиперболалық параболоидтың графигін салуға болады 179-сызбада z =+h гипербола-

а б

180-сызба. 180-сызба.

лық қисықтар. 180. а-сызбада пшерболалык параболоидка жүргізілген жазыктыктын кпмалары. ал 180, б-сызбада гиперболалық параболоидтың сырткы пішіні көрсетілген. 179-сызбадағы қималар: гиперболалар — .А₂В₁-А_1, .А₁.А₅.А₆. А₄В₂А₃, А₃С₁С₂; параболалар — В₁ОВ₂, D₁ОD₂.