5. Екі жазықтықпен берілген түзудің теңдеуі.

Екі жазықтық жалпы теңдеулермен берілсін :

A₁x+ B₁y+ C₁z+D₁=0 ,

A₂x+ B₂y+ A₁z+D₂=0 . (7)

Бұлардың коэфициенттерінен екі матрица құрайық :

және .

Осыған сәйкес рангілерді белгілейік : R₁(M₁), R₂(M₂). Егер бірінші матрицаның рангісі екіге тең болса (R₁(M₁)=2) , онда екінші матрицаның рангісі де екіге тең: R₂(M₂)=2. Сондықтан да өзара параллель болмайтын бұл екі жазықтық бір түзудің бойымен қиылысады. Сөйтіп, егер , онда екі жазықтықтың қиылысқан түзуінің бойындағы кез келген нүктенің координаталары екі жазықтықтың да теңдеуі кеңістіктегі бір түзуді анықтайды. Шындығында, бір түзудің бойымен жүргізілген жазықтықтарды жазықтықтар шоғы дейміз. Осы жазықтықтар шоғындағы әрбір екі жазықтықтың жиындысы әрқашанда бір түзуді кескіндейді. Жоғарғы (7) теңдеулерден x пен y-тің мәндерін z арқылы өрнектейік:

немесе оны қысқаша былай жазамыз :

x=p₁z+a₁

y=p₂z+a₂

Мұндағы параметрлердің мәндері :

Мына x=p₁z+a₁ жазықтықтығы ордината осіне параллель, ал

y= p₂z+a₂ жазықтығы абсцисса осіне параллель. Сөйтіп, кеңістіктегі түзудің теңдеуі қиылысатын екі жазықтықтың теңдеулері болады. Кеңістіктегі түзудің теңдеуіне төрт параметр кіреді: p₁, p₂,a_1,a₂. Бұл (8) түзудің теңдеуі төрт параметрлерімен анықталады. Осы теңдеулерді түзудің проекциялық теңдеулері дейміз.

5. Екі жазықтықпен берілген түзудің теңдеуін жабайы түрге келтіру.

Түзудің теңдеуі екі қиылысатын жазықтықтармен берілсін:

A₁x+B₁y+C₁z-D₁=0 ,

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 . (7)

Кеңістіктегі M(a,b,c) нүктесі түзудің бойында жатсын. Берілген М нүктесінен өтетін түзудің теңдеуін іздейік.

Кеңістіктегі түзу М нүктесінен өтетін болғандықтан, бұл нүктенің координаталары берілген түзудің теңдеуін қанағаттандырады. Сондықтан

A₁a+B₁b+C₁с+D₁=0 ,

A₂a+B₂b+C₂c+D₂=0 , (7’)

Осы (7’) теңдіктерін алдыңғы берілген (7) теңдіктерден алсақ, онда :

A₁(x-a)+B₁(y-b)+C₁(z-c)=0 ,

A₂(x-a)+B₂(y-b)+C₂(z-c)=0 ,

Бұдан мына екі қатынасты табамыз:

,

немесе

,

.

Осыдан мына үш қатынас өзара тең болады :

(9)

Екі жазықтықтың қиылысқан нүктелерінің жиындысы (9) осы түзуді береді. Теңдіктің бөлімдеріндегі коэфициенттерден құрылған параметрлерді белгілейік:

m=B₁C₂-B₂C₁ ,

n=A₂C₁-A₁C₂ ,

l=A₁B₂-B₁A₂ . (9’)

Енді (9) теңдіктер мынадай түрде жазылады :

. (10)

Бұл теңдеулер түзудің жабайы немесе пропорциялық теңдеулері деп аталады. Бұл түзу кеңістіктегі M(a,b,c) нүктесінен өтеді.

Сөйтіп, кеңістіктегі түзу жалпы түрде берілсе, онда ол түзудің қандай нүктеден өтетінін және оның параметрлерін анықтау үшін оны жабайы түрге келтіру керек. Бұл мысалдан түзудің жалпы теңдеуінен оның прекциялық және жабайы теңдеуіне көшуге болатынын көреміз.

Сонымен, кеңістіктегі түзу әртүрлі теңдеулермен анықталады:

1.Жалпы теңдеулер:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

2.Проекциялық теңдеулер:

x=p₁z+a₁

y=p₂z+a₂

3. Жабайы теңдеу: