1. Лекция.

Таќырыбы: Кеңістіктегі түзу.Түзудің канондық және параметрлік теңдеуі. Жазықтық пен түзу арасындағы бұрыш.

Кеңістіктегі түзу

Бұл тарауда тік бұрышты координаталар системасына байланысты кеңістіктегі түзудің әр түрлі теңдеулерін қарастырайық. Кез келген нүкте үш санмен анықталатын болғандықтан, әрбір кеңістіктегі түзу теңдеуінің қандай болатындығы осы нүктенің координаталарына сәйкес параметрге тәуелді болады. Сондықтан жоғарыда қойылған шарттар бойынша түзудің қанша параметрмен және қандай теңдеумен өрнектелетінін анықтаймыз. Мұнымен қатар кеңістіктегі түзулердің өзара байланыстарын және олардың жазықтықтармен қатынасын көрсетейік. Бұл тараудағы негізгі мақсат- тік бұрышты координаталарға байланысты кеңістіктегі түзулердің әртүрлі алгебралық теңдеулерін қорытып шығару.

1. Түзудің векторлық теңдеуі.

Түзудің бойынан бір М₁(R₁) нүктесі және оған параллель бағыттаушы t векторы берілсе, онда кеңістіктегі түзу толық анықталады.

Түзудің бойынан кез келген бір М(R) нүктесін алсақ (155- сызба),

t

M₁ M

R₁ R

0

155-сызба

о нда М₁М= OM- OM₁=R-R₁ . Енді бұл теңдікті мынадай түрде жазайық:

R-R₁ = t , (1)

мұндағы - параметр, яғни скалярлық көбейткіш. Осыдан

R=R₁+ t . (2)

Түзудің бойындағы кез келген М нүктесіне байланысты R радиус- вектор өзгеріліп отырады. Бұл (2) теңдеу кеңістіктегі түзудің векторлық теңдеуі деп аталады. Мұнда параметрінің әртүрлі мәндеріне сәйкес R радиус- векторының мәндері табылады, содан түзудің бойындағы нүктелер анықталады. Сондықтан (2) теңдеу кез-келген М(R) нүктесінен өтетін және t векторына параллель болатын түзуді сипаттайды.

2. Кеңістіктегі түзудің жабайы теңдеуі.

Түзудің векторлық теңдеуін қолданып, оның координаталық теңдеуін шығаруға болады. Жоғарыда қарастырылып отырған R-R₁ және t векторлары параллель болғандықтан, олардың осьтерге түскен проекциялары өзара пропорционал болады:

(3)

Енді t_x= m, t_y=n, t_z=l деп белгілесек, онда (3) теңдеу былайша жазылады:

(4)

м ұндағы М₁М={ x-x₁, y-y₁, z-z₁ } және t={m,n,l} векторлары өзара коллинеар болғандықтан, олардың проекциялары өзара пропорционал болады. Бұл (4) теңдеу кеңістіктегі түзудің жабайы теңдеуі деп аталады.

3. Кеңістіктегі екі нүктеден өтетін түзудің теңдеуі.

М ₁(x₁, y₁, z₁) және М₂(x₂, y₂, z₂) нүктелері берілсін. Түзу М₁(x₁, y₁, z₁) нүктесінен өтеді және бағыттаушы М₁М₂={x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁} векторына параллель. Сондықтан (4) теңдеу бойынша екі нүктеден өтетін түзудің теңдеуін табамыз:

. (5)

4. Екі түзудің бір жазықтықта жату шарты.

Екі түзу жабайы теңдеулермен берілсін :

, .

Бұл екі түзу бір жазықтықта жатса, онда мына

М₁М={ x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁ } , t₁={m₁, n₁, l₁}, t₂={m₂, n₂, l₂} векторлары өзара компланар болады. Сондықтан бұл үш вектордың аралас көбейтіндісі нольге тең :

(6)

(6) теңдік екі түзудің бір жазықтықта жату шартын көрсетеді.