10. Лекция. Таќырыбы: Жазықтық теңдеуінің берілу тәсілдері.Екі жазықтық арасындағы бұрыш. Жазықтықтың нормаль теңдеуі. Нормальдағыш көбейткіш. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.

Жазықтықтың жалпы теңдеуін зерттеу.

Жазықтықтың Ах+Ву+Сz+D=0 жалпы теңдеуін зерттеу үшін оның коэффициенттері-нің мәндерін қарастырайық.

1) Коэффициент А = 0, болса, онда Ву + Сz + D = 0. Бұл теңдеу у z жазықтығында түзу сызықты кескіндейді. Осы түзу сызық ВСболсын. Оның бойынан бір N (y,z) нүктесін альш, одан у z жазықтығына перпендикуляр түсіріп осы перпендикулярлардың бойынан кез келген М(х, у, z) нүктесін алсақ, онда у, z координаталары

By+Cz+D = 0 теңдеуін қанағаттандырады. Сондықтан

Ву + Сz+D=0 тендеуі абсцисса осіне параллель болатын жазықтықты кескіндейді.

2. Егер В = 0 болса, онда Ах + Сz + D = 0. Бұл жазықтық у осінепараллель (дәлелдеуі алдыңғыдағы сияқты).

3. Егер С = 0 болса, онда Ах+Ву+D=0 жазықтығы z осіне параллель болады.

4. Егер D = 0 болса, онда Ах + Ву + Сz = 0 жазыктығы координаталардың бас нүктесінен өтеді.

5. Егер Л = 0, Б = 0 болса, онда Сг + О = 0 жазықтығы ху жазықтығына параллель болады.

6. Егер С = 0, D = 0 болca, онда Ах+Ву = 0 жазықтығы апликата осінің бойынан және координаталардын бас нүктесінен өтеді. Бұл теңдеу координаталардын мына (0, 0, 0) мәнінде канағаттанады.

7. Егер А = В = О = 0, онда Сz = 0, z = 0 теңдеуі ху жазықтығын кескіндейді. Сөйтіп, коэффицненттердің мәндеріне байланысты координаталар системасындағы жазықтық әр түрлі болып орналасуы мүмкін.

§ 7. Жазықтықтың кесінділік теңдеуі. Жазықтықтың кесінділік теқдеуін қорытып шығару үшін оның Ах + Ву + Сz+D = 0 жалпы тендеуін пайдаланайық. Бүл теңдеуді мыңадай түрде жазайық

Осы теңдеудіц бөліміндегі қатынастарды белгілейік:

Сонда алдындағы теңдеу мынадай болады:

(8)

Бұл теңдеу жазықтықтың кесінділік теңдеуі деп аталады. Шынында а, б, с өзіне сәйкес келетін Ох, Оу, Оz осьтерінің бойынадағы

кесінділерді көрсетеді. Осы осьтердің бойыидағы нүктелерді М₁ (а, 0, 0), М₂(0, б, 0), М₃(0, 0, с) десек, онда бұл нүктелер арқылы жазықтық жүргізуге болады (151-сызба).М1, М₂, М₃ нүктелерінің координаталары (8) теңдеуді қанағаттандырады. Мысалы,М₃ нүктесінің координаталарын (8) теңдеуге қойсақ, онда 0/а+0/б+С/с= 1, теңдеуінің дұрыс екендігі керінеді. Егер бұл (8) теңдеудегі у,z2-тің орнына ноль қойсақ, онда х/а+0/б+0/с= 1, яғни х = а болады. Сейтіп, кесінділік теңдеу үш осьті қиып өтетін жазықтықты кескіндейді.

Мысалы координаталар системасында мына 3х+ 2z—12 = 0 жазыктығының қалай өтетінін көрсетейік.

Ш е ш у і. Берілген жазықтықтың жалпы теңдеуін кесінділік түрге келтірейік: 3х+4у+2z=1. x/4+y/3+z/6=1.

Бүл жазықтықтың координатала системасында қалай орналасқандығы

152-сызбада көрсетілген.

152- сызба

§ 9. Берілген нүктеден өтетін жазықтыктың теңдеуі. Кеңістік-те бір м(а,б, с) нүктесі берілсін. Осы нүктеден өтетін жазықтықтын. Теңдеуін қарастырайық.

Жазықтық бір нүктеден ететін болғандықтан, бұл есеп анықталмайды, яғни берілген М(а, б, с) нүктесінен өтетін жазықтықтар өте көп болуы мүмкін. Осы жазықтықтардың ішіндегі бір жазықтықтың теңдеуі мынадай болсын: Ах+Ву+Сz+D=0. Берілген М нүктесінің координаталары бұл теңдеуді қанағаттандыратын бол-ғандықтан, мынадай теңбе-теңдік шығады: Аа + Вb+.Сс+D = 0.

Енді бірінші теңдеуден соңғы теңдеуді алсақ, онда іздеген тең-деуімізді табамыз:

А(х-а)+В(у-b)+С(z-с)=0.

Ағымдық координаталарға байланысты теңдеу бірінші дәреже-лі болады. Сондықтан мына А, В, С коэффициенттерінін, белгілі мәндсрінде бүл тсңдеу М (а, Ь, с) нүктесінен өтетін жазықтықтың теңдеуі болады. А, В, С коэффициенттерінің әр түрлі мәндеріне сәй-ксс бір иүктеден көп жазықтықтар өтеді.