Решение

При движении перемычка пересекает магнитные силовые линии, и в ней возникает ЭДС индукции, величина которой определяется по закону Фарадея (3.1):

.

Магнитный поток через поверхность, описываемую перемычкой за время dt:

d_m=BdScos=Bldt.

_инд=Bl.

Причиной возникновения ЭДС в движущемся проводнике является сила Лоренца, которая действует со стороны магнитного поля на свободные электроны, движущиеся вместе с перемычкой. Под действием этой силы свободные электроны станут смещаться влево и заряжать левый конец перемычки отрицательно, а правый конец положительно. По контуру потечет ток I. Силу этого тока найдем из закона Ома для полной цепи:

,

где R – сопротивление цепи, которое по условию задачи равно сопротивлению перемычки.

На перемычку с током I в магнитном поле действует сила Ампера:

.

Чем больше скорость движения перемычки, тем больше сила Ампера. При равенстве силы Ампера силе тяжести, действующей на перемычку, движение её станет равномерным, а скорость установившейся (рис. 3.3):

,

отсюда

.

Подставим данные задачи

.

Ответ: R=2,5 Ом.

Пример 5. Найти взаимную индуктивность двух связанных многовитковых контура радиусами R₁ = 15 см и R₂ = 3 мм, если расстояние между их центрами равно r= 3 см, а угол между плоскостями контуров =60^о. Первый контур содержит число витков N₁=200, второй N₂=40.

Решение

Ток I₁, протекающий по виткам первого контура, создает магнитное поле. Индукция этого поля в точке О₂ определяется соотношением

. (1)

Размеры второго контура малы, поэтому магнитную индукцию в пределах этого контура можно считать постоянной, равной магнитной индукции в точке О₂ (рис. 3.4).

Магнитный поток, создаваемый током первого контура и сцепленный с витками второго:

₂₁=L₂₁I₁, (2)

где L₂₁ взаимная индуктивность контуров.

В то же время

₂₁=B₁S₂N₂cos ,

где S₂ = R₂  площадь второго контура.

С учетом равенства (1)

. (3)

Из (2) и (3) взаимная индуктивность контуров равна:

Подставим данные задачи:

.

Ответ: L₂₁ = 4,73∙10^-10 Гн.

Пример 6. На тороидальный стальной сердечник, имеющий квадратное поперечное сечение площадью 25 см(рис. 3.5), намотано 600 витков провода. Внутренний радиус тороида 10 см. По обмотке тороида протекает электрический ток силой 1,5 А. Определить энергию магнитного поля в сердечнике.

Решение

Напряженность магнитного поля в разных точках сердечника зависит от расстояния r до центра тороида и определяется по формуле:

. (1)

Следовательно, магнитное поле в сердечнике является неоднородным.

Энергия неоднородного магнитного поля (3.19):

, (2)

где w_m объёмная плотность энергии магнитного поля:

. (3)

В качестве элементарного объёма dV выберем объём тонкого цилиндрического слоя высотой h = a, радиусом r и толщиной dr.

dV=a2rdr, (4)

где  сторона сечения тороида.

В пределах этого слоя напряженность поля можно считать постоянной.

Подставим выражения (1), (3), (4) в формулу (2):

. (5)

Сердечник тороида изготовлен из стали, т.е. является ферромагнетиком. Относительная магнитная проницаемость ферромагнетиков  зависит от напряженности магнитного поля и может быть найдена с помощью графика зависимости B=f(H) (прил. 1):

.

В качестве величины H будем принимать значение Н вдоль средней линии тороида, которая находится от центра тороида на расстоянии

.

Тогда

.

Подставим числовые значения:

.

По графику В=f(H) для стали находим значение В, соответствующее Н=1146 А/м. В=1,15 Тл. Теперь можно определить магнитную проницаемость:

.

Подставим в (5) данные задачи и подсчитаем энергию магнитного поля:

.

Ответ: W_m =1,3 Дж.