(Табличный способ приведения к сднф)

Составляется таблица истинности данной ПФ.
Рассматриваются те строки, в которых формула принимает истинностное значение 1. Каждой такой строке ставится в соответствие элементарная конъюнкция, причем переменная, принимающая значение 1, входит в нее без отрицания, а 0 – с отрицанием.
Образуется дизъюнкция всех полученных элементарных конъюнкций, которая и составляет СДНФ.

Алгоритм 5.4

(Табличный способ приведения к скнф)

1. Составляется таблица истинности данной ПФ.

2. Рассматриваются те строки, в которых формула принимает истинностное значение 0. Каждой такой строке ставится в соответствие элементарная дизъюнкция, причем переменная, принимающая значение 1, входит в нее с отрицанием, а 0 – без отрицания.

Образуется конъюнкция всех полученных элементарных дизъюнкций, которая и составляет СКНФ.

Пример. Рассмотрим ПФ с таблицей истинности

X	Y	Z
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

По таблице истинности в соответствии с вышеизложенными алгоритмами выпишем СДНФ и СКНФ

СДНФ:

З аметим, что из табличного способа построения совершенных нормальных форм следует, что тождественно-ложные формулы не имеют СДНФ; тождественно-истинные формулы не имеют СКНФ. Для выполнимых ПФ справедливы следующие теоремы:

Теорема 5.5. Если ПФ имеет СДНФ, то она единственна.

Теорема 5.6. Если ПФ имеет СКНФ, то она единственна.

Единственность совершенных нормальных форм у выполнимой ПФ обуславливает их использование для доказательства равносильностей, идея которого состоит в следующем: если у двух ПФ их СДНФ (СКНФ) совпадают, то они равносильны.

Пример решения задачи

Задача. Привести ПФ к совершенным нормальным формам.

Решение. Для приведения к совершенным нормальным формам воспользуемся алгоритмами 5.3 и 5.4. Построим таблицу истинности и на ее основе составим СДНФ и СКНФ.