4.2.4 Критерий Сэвиджа

В критерии Сэвиджа используют матрицу рисков . Элементы данной матрицы можно определить по формулам (4.2), (4.3), которые перепишем в следующем виде:

(4.9)

Это означает, что r_ij есть разность между наилучшим значением в столбце j и значениями a_ij при том же j. Отметим, что независимо от того, является ли a_ij доходом (выигрышем) или потерями (затратами), r_ij в обоих случаях определяет величину потерь лица, принимающего решение. Следовательно, можно применять к r_ij только минимаксный критерий. Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию x_i, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большого проигрыша (потерь).

4.2.5 Критерий Гурвица

Основан на следующих двух предложениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 – ) и в самом выгодном состоянии с вероятностью , где – коэффициент доверия. Если результат a_ij прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица определяется по формуле:

. (4.10)

Когда a_ij представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее

. (4.11)

Если = 0, получим пессимистический критерий Вальда.

Если = 1, то приходим к правилу вида или, к так называемому максимаксному критерию, к стратегии «здорового оптимиста», т.к. критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 – ) и , где 0 ≤ ≤ 1. Значение от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности значение = 0,5 представляется наиболее разумным.

Принимая стратегию Гурвица, ЛПР выбирает для себя, насколько рисковать, или страховаться. Для выбора стратегии по критерию Гурвица сначала для каждой строки матрицы определяются максимальный и минимальный элементы, затем они после умножения на соответствующие коэффициенты доверия складываются для каждой строки. Из полученных значений выбирается максимальное значение (для матрицы доходов) или минимальное (для матрицы затрат), соответствующие i-й строке. По нему определяется i-й вариант решения. Аналогичную процедуру можно повторить и для столбцов. Недостаток стратегии Гурвица – субъективность определения коэффициента значимости.

4.3 Выводы

Выбор критерия принятия решений в условиях неопределенности является наиболее сложным и ответственным этапом. Выбор критерия приходится производить с учетом конкретной специфики решаемой задачи и в соответствии с поставленными целями, а также опираясь на прошлый опыт и интуицию. В частности, если даже минимальный риск недопустим, то следует применять критерий Вальда. Если наоборот определенный риск вполне приемлем, то выбирают критерий Сэвиджа.

Рассмотренные критерии принятия решений приводят нередко к различным результатам. Для каждого конкретного случая применимо (и дает «наилучшее» для вас решение) какое-то определенное правило или критерий оценки.

1. Максимаксное решение — максимизация максимума доходов – стратегия оптимиста. При выборе этой стратегии ЛПР в погоне за максимальной прибылью, рискует в случае неудачи потерять много.

2. Равновероятный принцип Лапласа и критерий Вальда позволяют принять решение без использования численных значений вероятностей исходов. По пессимистической стратегии Вальда ЛПР страхует себя от наихудших исходов выбирая наилучший вариант из наихудших .

3. Правило минимакса – минимизация максимально возможных потерь. В данном случае больше внимания уделяется возможным потерям, чем доходам. Таблицу возможных потерь можно получить из таблицы доходов, находя наибольший доход для каждого исхода и сопоставляя его с другими доходами этого же исхода. Таблица возможных потерь дает представление о прибылях каждого исхода, потерянных в результате принятия неправильного решения. Минимаксную стратегию принятия решений называют также правилом возможных потерь или упущенным доходом.

4. Критерий Гурвица представляет собой компромисс между осторожным правилом максимина и оптимистичным правилом максимакса. В нем объединяются правила, не рассматривающие индивидуальные вероятности отдельных исходов, и те, в которых учитываются вероятности исходов. При использовании критерия Гурвица для каждого решения рассматриваются лучший и худший результаты. ЛПР придает вес (коэффициент значимости ) обоим результатам, и, умножив результаты на соответствующие веса и, суммируя, выбирает решение с наибольшим результатом. Такое решение задачи предполагает, что имеется достаточно информации для определения весов. Недостаток стратегии состоит в том, что ЛПР нужно самому вычислить (определить) веса для исходов с низкими и высокими доходами.

5. Ожидаемый максимальный доход может быть определен расчетом математического ожидания по формуле (4.4). Значения вероятностей, которые используются, основаны либо на уже имеющейся информации, либо на расчетах. Однако эти значения непостоянны, и поэтому, полезно знать, насколько велика зависимость выбора решения от изменения величины вероятности, то есть какова чувствительность решений.

Пример 3 (замена оборудования) [1]

Установленное на предприятии сложное и дорогостоящее оборудование после k лет работы может оказаться в одном из трёх состояний:

y₁ – оборудование вполне работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонт; у₂ – некоторые детали значительно износились и требуют серьезного ремонта или заметы; у₃ - основные детали износились настолько, что дальнейшая экс­плуатация оборудования невозможна

Прошлый опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что в 20% случаев оно может находиться в состоянии y₁, в 50% – в состоянии у₂ и в 30% – в состоянии у₃ ,

Для предприятия возможны три различных способа действия: х₁ – оста­вить оборудование в работе еще на год, проводя незначительный ремонт свои­ми силами; х₂ – провести капитальный ремонт оборудования с вызовом специальной бригады ремонтников; х₃ - заменить оборудование новым.

Потери, которые понесет предприятие, при различных способах действия, приведены в таблице. В таблице также приведены априорные вероятности раз­личных состояний природы. В потери входят стоимость ремонта или замены оборудования, а также убытки, связанные с ухудшением качества продукции и с простоями, вызванными неисправным оборудованием.

y	q(yj)	F(xi,yj)
		x1	х2	х3
y1	0,2	1	3	5
y2	0,5	5	2	4
y3	0,3	7	6	3

Найти оптимальною стратегию предприятия, при которой потери и риск потерь при наихудшем состоянии природы были бы минимальны.

Решение.

Заданную таблицу потерь преобразуем в более удобную для решения форму (4.1) и представим в виде матрицы затрат М.

qj	q1= 0,2	q2 = 0,5	q3= 0,3
Yj Xi	y1	y2	y3
x1	1	5	7
x2	3	2	6
x3	5	4	3

М =

1. Ожидаемые средние потери при различных способах действия x_i с учетом прошлого опыта эксплуатации оборудования (вероятности событий) определим через математическое ожидание по формуле (4.4)

.

W(x₁) = 0,2 х 1 + 0,5 х 5 + 0,3 х 7 = 4,8

W(x₂) = 0,2 x 3 + 0,5 x 2 + 0,3 x 6 = 3,4 ← min

W(x₃) = 0,2 x 5 + 0,5 x 4 + 0,3 x 3 = 3,9

Выбираем стратегию х₂ (капитальный ремонт оборудования) с ожидаемыми средними минимальными потерями W (x₂) = 3,4.

2. Критерий Лапласа при равновероятных состояниях природы по формуле (4.5)

min W(x_i) = min .

W(x₁) = (1 + 5 + 7) ≈ 4, 33

W(x₂) = (3 + 2 + 6) ≈ 3, 66 ← min

W(x₃) = (5 + 4 + 3) ≈ 4, 00

Минимальные средние потери будут также иметь место при выборе стратегии х₂.

3. Критерий Вальда

3.1. При равновероятных состояниях природы для исходной матрицы М

qj	0,2	0,5	0,3
	y1	y2	y3	maxj		mini maxj	minj
x1	1	5	7	7		–	1
x2	3	2	6	6		–	2
x3	5	4	3	5		5	3
mini	1	2	3

M =

минимаксный критерий

W(x₃) = .

Оптимальной является стратегия х₃ – замена оборудования новым.

3.2. С учетом заданных вероятностей состояний природы q_j (y_j) матрица М потерь по формуле a_ij(q_j)=q_j ∙a_ij, принимает вид

	y1	y2	y3	maxj		mini maxj	minj
x1	0,2	2,5	2,1	2,5		–	0,2
x2	0,6	1,0	1,8	1,8		1,8	0,6
x3	1,0	2,0	0,9	2,0		–	0,9
mini	0,2	1,0	0,9

M₁ =

Здесь минимаксный критерий

W(x₂)=

Получаем оптимальную по критерию Вальда стратегию х₂ – капитальный ремонт.

4. Риск увеличения потерь в самой неблагоприятной ситуации определяется по критерию Сэвиджа (4.9).

Если А – потери r_ij = a_ij – {a_ij}.

4.1. Матрица рисков без учета заданных вероятностей состояний среды из матрицы М

	y1	y2	y3	maxi
x1	0	3	4	4	–
x2	2	0	3	3	3
x3	4	2	0	4	–

min r(x₂) = { r_ij} = {4;3;4} = 3

4.2. С учетом заданных вероятностей из матрицы М₁ матрица рисков примет вид

	y1	y2	y3	maxi
x1	0	1,5	1,2	1,5	–
x2	0,4	0	0,9	0,9	0,9
x3	0,8	1,0	0	1,0	–

min r(x₂) = {r_ij} = {1,5;0,9;1,0} = 0,9

Критерий Сэвиджа показывает, что при выборе стратегии х₂ риск увеличения затрат на восстановление станочного парка минимальный.

5. Критерий Гурвица. Примем коэффициент доверия = 0,5. Тогда оптимальная стратегия для матрицы затрат определяется по формуле (4.11)

W_min = [ ∙ min{a_ij} + (1 – )∙ {a_ij}].

С учетом заданных вероятностей из матрицы М₁

W(xi)	aij	aij	[…]	[…]
W(x1)	0,2	2,5	0,5(0,2 + 2,5) = 1,35	–
W(x2)	0,6	1,8	0,5(0,6 + 1,8) = 1,20	1,2
W(x3)	0,9	2,0	0,5(0,9 +2,0) = 1,45	–

Критерий Гурвица также рекомендует выбор стратегии х₂ – ремонт оборудования.

Выводы

1. Капитальный ремонт оборудования специальной бригадой ремонтников (стратегия х₂) гарантирует предприятию, в самых неблагоприятных условиях его износа, средние затраты не более 3,4 ед. (п.1.).

2. При выборе стратегии х₂ риск увеличения затрат на восстановление станочного парка минимальный (п.2.).

3. Критерий Вальда (п.3.) показывает недостаточную надежность принятого решения, так как даже незначительное изменение вероятностей (0,2; 0,5; 0,3 вместо q_j = = 0,33 ведет к изменению оптимальной стратегии х₂.

4. если на основе прошлого опыта удается прогнозировать (точно установить) вероятности наступления событий, то их необходимо учитывать для определения оптимального способа действий. В противном случае принятое решение может оказаться не наилучшим (п.3).