4.2 Критерии оптимизации в условиях риска

Для количественной оценки ситуации и принятия решения в условиях риска используют критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и математическое ожидание.

4.2.1 Математическое ожидание

В рамках системного описания предполагается, что исход (состояние системы) определяется двумя факторами: выбором альтернативы и состояния среды. Если обозначить через q_j вероятность появления состояния y_j (j=1,…,m) то должно выполняться условие

.

Если обозначить через p_i(a) вероятность наступления исхода а при выборе альтернативы х_i, то

.

В качестве оценки «полезности» альтернативы x_i , берется сумма попарных произведений, стоящих в строке x_i таблицы 4.1. численных значений на соответствующие им вероятности

(4.4)

Эту величину называют математическим ожиданием. Или другими словами «полезность» W альтернативы x_i есть сумма произведений численных значений вероятностей на исход по каждой строке x_i таблицы 4.1.

Наилучшей (оптимальной) следует считать альтернативу, которой соответствует наибольшее значение математического ожидания.

4.2.2 Критерий Лапласа

Этот критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» y_j , j = полагаются равновероятными. В соответствии с этим принципом каждому состоянию y_j присваивается вероятность q_j , определяемая по формуле

.

При этом в условиях риска выбирается действие x_i дающее наибольший ожидаемый выигрыш

(4.5)

Для каждой строки матрицы рассчитывается средний элемент (сумма элементов строки, деленная на количество элементов). Из рассчитанных средних выбирается максимальное. По местоположению максимального среднего (какой строке соответствует) выбирается i-й вариант решения. Аналогично можно повторить эту процедуру и для столбцов. Недостаток стратегии – происходит усреднение выигрыша, в поисках компромисса часто теряется выигрыш. Стратегию наиболее целесообразно применять, если элементов строк матрицы много (три и более) и они имеют не слишком большой разброс относительно среднего значения в строке.

Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей рисков , то критерий Лапласа принимает следующий вид:

(4.6)

4.2.3 Критерий Вальда

Применение данного критерия не требует знания вероятностей состояний Y_j . Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий X_i (стратегия «пессимиста»).

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат a_ij представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии x_i необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент max_j {a_ij}, а затем выбирается действие x_i (строка i), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т.е. действие, определяющее результат, равный

(4.7)

Если в исходной матрице по условию задачи результат a_ij представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий.

Для определения оптимальной стратегии x_i в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент , а затем выбирается действие x_i (строка i), которому будут соответствовать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т.е. действие, определяющее результат, равный

(4.8)

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогичным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пессимистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.