1.4. Контрольные вопросы

1. Что такое равномерный поток?

2. Что такое среднее число входов?

3. Что такое среднее время?

Лабораторная работа №8. Изучение функционирования многоканальной разомкнутой системы массового обслуживания с простейшими потоками

1. Цель работы

Цель работы – исследование характеристик многоканальной разомкнутой системы массового обслуживания с простейшими потоками (состав характеристики указан в п. 1.2).

Допустим, задана многоканальная разомкнутая система массового обслуживания с неограниченным временем ожидания и с простейшими потоками, которая наиболее соответствует действительности. Система характеризуется следующими особенностями:

1. Поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, т.е. вероятность поступления двух и более требований в один момент времени мала, и ею можно пренебречь (поток требований ординарный);

2. Вероятность поступления последующих требований в любой момент времени не зависит от вероятности их поступления в предыдущие моменты – поток требований без последействия.

3. Поток требований стационарный.

2. Задание на лабораторную работу

Функционирование многоканальной разомкнутой системы массового обслуживания можно описать через все возможные ее состояния и через интенсивность перехода из одного состояния в другое.

Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности состояния системы, то есть возможность наличия n требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) в системе – Pn. Так, вероятность P0 характеризует состояние, когда в системе нет требований и все каналы обслуживания простаивают, Р1 – когда в системе находится только одно требование, и т.д.

Важным параметром функционирования СМО является также среднее число требований в системе (т.е. в очереди и на обслуживании), – Nsyst – и средняя длина очереди – Noch. Исходными параметрами, характеризующими систему массового обслуживания, являются:

• число каналов обслуживания (касс, компьютеров, подъемных кранов, ремонтных бригад) – N;

• интенсивность поступления одного требования на обслуживание – λ;

• интенсивность обслуживания требования – μ.

3. Краткие теоретические сведения

Интенсивность поступления на обслуживание одного требования определяется как величина, обратная времени между поступлениями двух смежных требований на обслуживание, – tp:

(1)

Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная времени обслуживания одного требования, – tо:

(2)

Рассмотрим сначала решение задачи аналитическим методом. Для этого представим все возможные состояния системы массового обслуживания в виде размеченного графа состояний (рисунок 1). Каждый прямоугольник графа определяет одно из всех возможных состояний, количественно оцениваемое вероятностью состояний Pn. Pn – это возможность наличия в системе n требований. Стрелки на графе указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью. При этом в многоканальной СМО необходимо различать два случая:

1. Число требований n, поступивших в систему, меньше количества каналов обслуживания N, т.е. все они находятся на обслуживании (0≤n<N);

2. Число требований n, поступивших в систему, больше или равно числу каналов обслуживания N (N≤n), то есть N требований обслуживаются, а остальные r ожидают в очереди (r = 1, 2, …, n – N).

Рисунок 1 – Размеченный граф состояний многоканальной разомкнутой СМО

Первый прямоугольник с вероятностью P0 определяет состояние системы массового обслуживания, при котором все каналы обслуживания простаивают из-за отсутствия требований в ней. Из этого положения СМО может перейти только в состояние P1, и тогда в ней появится одно требование, так как входной поток требований ординарный. С интенсивностью μсистема может перейти также из состояния P1 в состояние P0, если единственное требование, находившееся в системе, было обслужено раньше, чем появилось новое, и т.д.