6. Повторение независимых испытаний Формула Бернулли

Пусть эксперимент состоит в проведении некоторого опыта, о котором можно предположить, что или добились успеха или нет. Т.е. эксперимент с двумя исходами: А и , которые называются «успехом» и «неуспехом» соответственно.

Пусть , .

Проведем п идентичных испытаний (независимых друг от друга). Построенная схема испытаний называется схемой Бернулли.

Ставится вопрос: Какова вероятность того, что раз добьемся успеха? Обозначим искомую вероятность .

Пример:

Найдем вероятность «успеха» в 3-х испытаниях.

Проведем n независимых испытаний.

,

где .

Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых (идентичных) испытаний с двумя исходами, имеющими неизменные вероятности (в каждом из испытаний).

Вероятность в схеме Бернулли вычисляется по формуле

. (3)

Формула (3) называется формулой Бернулли.

Отметим, что вероятность равна коэффициенту при в разложении бинома по степеням х. В силу этого свойства совокупность вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятностей.

Пример:

В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки.

Решение:

А = «лампочка неисправна»

n = 6, m = 2, р =1 – 0,7 = 0,3; q = 0,7; p + q = 1,

.

Ответ. 0,3241.

Если требуется найти вероятность того, что число появления события А окажется в пределах от т₁ до т₂ (интервальная вероятность), обозначается или , то тогда в силу несовместимости событий

.

«Не менее m раз» .

«Хотя бы 1 раз» .

Т.к. все возможные несовместимые между собой исходы испытаний состоят в появлении события А 0 раз, 1 раз, …, n раз, то

.

Наивероятнейшее число появления события а в схеме Бернулли

Вероятность с увеличением m сначала возрастает, затем достигает максимума и при дальнейшем росте m убывает.

Используя неравенства , и формулу Бернулли, получаем:

– наивероятнейшее число появления события А в схеме Бернулли.

Границы отличаются на единицу, так как .

Пример:

Если , то , если , то .

Теоремы Пуассона и Муавра – Лапласа

При больших значениях n и m вычисление по формуле Бернулли превращается в технически сложную задачу, следовательно, возникла потребность в асимптотических формулах как для , так и для .

Локальная теорема Муавра-Лапласа

При больших m и n в схеме Бернулли имеет место следующая формула

, где .

Для функции есть таблицы значений для x[0;4], при . Функция четная, т. е. .

Рис.1. График функции .

Чем больше разница между ожидаемым m и средним np, тем меньше вероятность.

Пример:

Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Найти вероятность отказа 15 приборов при испытании 120 приборов.

Решение:

А = «прибор отказал»

п =120; т = 15; р = 0,2; q = 1 – 0,2 = 0,8.

Ответ. 0,01.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

При больших n, m₁, m₂ в схеме Бернулли

, где .

Рис.2. График функции .

Функция – нормированная функция Лапласа.

– нечетная, т.е. , значения функции имеются в таблицах. При .

Пример:

Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы испытываются независимо друг от друга. Найти вероятность отказа от 10 до 25 приборов при испытании 100 приборов.

Решение:

А = «прибор отказал»

п =100; ; ; р = 0,2; q = 1 – 0,2 = 0,8.

Ответ. 0,8882.

В задачах часто будет интересовать интервал, симметричный относительно np.

.

Рассмотрим частоту появления события и пусть интервал значений появления события в схеме Бернулли симметричен относительно np. Тогда

, где .