2. Правила комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.

Многие задачи комбинаторики могут быть решены при помощи следующих правил:

Правило произведения: Пусть из некоторого конечного множества первый объект можно выбрать m₁ способами, второй объект – m₂ способами, …, п-й – т_п способами, тогда произвольный набор перечисленных п объектов можно выбрать т₁ · т₂ · …· т_п способами.

Правило суммы: Пусть из некоторого конечного множества первый объект можно выбрать m₁ способами, второй объект – m₂ способами, …, п-й – т_п способами, тогда любой из объектов можно выбрать т₁ + т₂ + …+т_п способами.

Примеры:

1. Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, если в ней содержится 7 синих карандашей, 5 красных, 3 зеленых и 1 желтый?

Решение.

Синий карандаш можем выбрать 7 способами, красный – 5 способами, зеленый – 3 способами, желтый – 1 способом. Так как выбираем один объект, то воспользовавшись правилом суммы, получим:

N = 7 + 5 + 3 + 1 = 16.

Ответ. 16 способов.

2. Сколько существует пятизначных чисел, все цифры у которых различны?

Решение.

Х Х Х Х Х – пятизначное число.

Первая цифра записи числа может быть записана 9 способами, так как для записи чисел используется 10 цифр 0,1,2,…,9 и ноль не может быть первой цифрой записи пятизначного числа. Вторая цифра может быть записана 9 способами, так как используются 8 оставшихся цифр и ноль, третья цифра – соответственно 8 способами, четвертая – 7 способами, пятая – 6 способами.

Так как пятизначное число – это набор из 5 цифр, то для подсчета воспользуемся правилом произведения, получим:

N = 9  9  8  7  6 = 27216.

Ответ: 27216 существует пятизначных чисел, все цифры у которых различны.

3. Основные комбинаторные соединения

Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору т элементов из п. При этом элементы:

а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений);

б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).

Схема выбора без возвращений

Определение. Размещением из п элементов по т называется любой упорядоченный набор из т элементов, принадлежащих п элементному множеству. Различные размещения отличаются друг от друга или порядком элементов, или составом.

Число размещений из п элементов по т обозначается и вычисляется по формуле

,

где , .

Определение. Перестановкой из п элементов, называются такие комбинации, любая из которых содержит п элементов, и отличается от любой другой порядком элементов.

Число перестановок из п элементов обозначается Р_п и вычисляется по формуле

.

Определение. Сочетанием из п элементов по т называется любой набор из т элементов, принадлежащих пэлементному множеству. Различные сочетания отличаются друг от друга только составом.

Число сочетаний из п элементов по т обозначается и вычисляется по формуле

.

Некоторые свойства сочетаний:

1. ;

2. ;

3. .

Пример: Дано множество {a, b, c}.

Сочетания из данного множества по 2 элемента: {a,b}, {a,c}, {b,c}.

Размещения из данного множества по 2 элемента: {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}{c,b}.

Перестановки из элементов данного множества: {a,b,c}, {a,c,b}, {b,a,с}, {b,c,a}, {c,a,b}, {c,b,a}.

Схема выбора c возвращением

В схеме выбора с возвращением размещения и сочетания определяются также, как в схеме выбора без возвращений.

Число размещений с повторениями из п элементов по т обозначается и вычисляется по формуле

.

Число сочетаний с повторениями из п элементов по т обозначается и вычисляется по формуле

.

Схема упорядоченных размещений

Пусть множество состоит из п элементов: п₁ – элементы первого рода, п₂ – элементы второго рода, …, п_k – k-го рода, причем п₁ + п₂ +…+ п_k = п. Число способов разбиения множества на k упорядоченных частей и число перестановок п из элементов множества обозначается и вычисляется по формуле

.

Примеры:

1. В турнире участвуют 6 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

Решение.

Так как каждый человек займет какое-либо место с 1 по 6-е, следовательно, будем использовать формулу перестановок:

Р₆ = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.

Ответ. 720 способов.

2. Сколькими способами может быть присуждены 1, 2 и 3 премии трем лицам, если число соревнующихся 12?

Решение.

Так как порядок выбора элементов важен, следовательно, для подсчета способов будем использовать формулу размещений без повторений (т.к. один и тот же человек не может занять, например, 2 и 3 места одновременно). Получаем:

.

Ответ: 1320 способов.

3. Сколькими способами читатель может выбрать 4 книги из 6?

Решение.

Так как порядок выбора элементов не важен (т.е. книги можно взять в произвольном порядке), следовательно, для подсчета способов будем использовать формулу сочетаний без повторений. Получаем:

.

Ответ: 15 способов.

4. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил «неуд».

Решение.

Каждый из студентов может получить любую из отметок: «удовлетворительно», «хорошо», «отлично». Причем отметки могут повторяться. И так как важно, какую отметку получит каждый из студентов, то, следовательно, для подсчета способов будем использовать формулу размещений с повторениями. Получаем:

.

Ответ: 81 способ.

5. Сколько различных «слов» (необязательно осмысленных) можно получить, переставляя буквы в слове: а) СОЛНЦЕ; б) MISSISSIPPI?

Решение.

а) В слове СОЛНЦЕ нет повторяющихся букв, новые «слова» получаются перестановкой букв, следовательно, для подсчета количества новых «слов» будем использовать формулу перестановок. Так как букв в исходном слове 6, получим:

.

б) В слове MISSISSIPPI есть повторяющиеся буквы. Разобьем данное множество на подмножества. Пусть буквы М – элементы 1-го рода, тогда

п₁ = 1; буквы I – элементы 2-го рода, тогда п₂ = 4; буквы S – элементы 3-го рода, п₃ = 4; буквы Р – элементы 4-го рода, п₄ = 2. Всего букв в слове 11, т.е. п = 11. Для подсчета будем использовать схему упорядоченных размещений, получим:

.

Ответ: а) 720 способов; б) 34650 способов.

6. В почтовом отделении продаются открытки 6 видов. Покупатель выбил чек на 4 открытки. Считая, что любой набор товаров равновозможен, определить число возможных вариантов покупки.

Решение.

Порядок выбора открыток не важен и так как не сказано, что открытки должны быть разного вида, то для подсчета способов будем использовать формулу сочетаний с повторениями. Получим:

.

Ответ: 126 способов.