3. Законы операций над множествами
Для любых подмножеств А, B и C универсального множества I справедливы следующие тождества:
1.
,
;
2.
,
;
3.
,
;
4.
,
;
5.
,
;
6.
;
7.
,
.
Примеры:
1.
Доказать тождество
.
Доказательство:
Докажем аналитически. Преобразуем левую часть равенства, используя законы операций над множествами:
.
После преобразований получили правую часть. Следовательно, тождество верно.
Докажем графически. Изобразим левую и правую часть на кругах Эйлера.
Так как залитые темно-серым цветом области на первой и второй схеме совпадают, следовательно, делаем вывод, что тождество верно.
2. Доказать тождество .
Докажем данное тождество графически. Рассмотрим левую часть равенства:
Серым
цветом на схеме показано действие,
выполняемое в скобках
,
а штриховкой – результат выполнения
действий в левой части равенства, т.е.
.
Обведем жирной линией результат
действий над множествами.
Теперь рассмотрим правую часть равенства:
Серым
цветом на схеме показано выполнение
действия в первой скобке
,
штриховкой с наклоном влево – результат
действия во второй скобке
,
штриховкой с наклоном вправо – результат
пересечения первой и второй скобки.
Обведем жирной линией область, где
пересекаются штриховые линии, это и
будет результат выполнения действий в
правой части.
Так как области, обведенные жирной линией в левой и правой части совпадают, следовательно, делаем вывод, что данное тождество верно.
4. Метод математической индукции
В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный или индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.
По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений.
Рассмотрим доказательство методом математической индукции на примере.
Доказать, что для любого натурального n, справедливо равенство:
.
Доказательство.
1)
Пусть n=1,
тогда
.
Следовательно, утверждение верно при
n=1.
2) Докажем, что данное равенство справедливо для (k+1).
Пусть
k –
любое натуральное число и пусть
утверждение справедливо для n=k,
т.е.
.
Докажем,
что тогда утверждение справедливо и
для следующего натурального числа
n=k+1,
т.е. что
.
Действительно,
.
На основании принципа математической индукции заключаем, что исходное равенство истинно для любого nN.
Элементы комбинаторики
1. Понятие выборки
Если из множества, содержащего n элементов, каким-то способом отобраны k элементов (k<n), то говорят, что из этого множества произведена выборка объема k.
Если порядок расположения элементов выборки принимают во внимание, то выборки называют упорядоченными. Таким образом, две упорядоченные выборки считают различными, если они отличаются либо составом элементов, либо их расположением.
В том случае, когда порядок расположения элементов не учитывают, выборки называют неупорядоченными. Следовательно, две неупорядоченные выборки считают различными, если в одной из них есть хотя бы один элемент, которого нет в другой.
Например, для множества, состоящего из трех элементов a, b, c, существуют три различные неупорядоченные выборки объема (ab, bc, ac) и шесть различных упорядоченных выборок того же объема (ab, bc, ac, ba, cb, ca).