2.4. Третий закон Ньютона. Законы изменения и сохранения импульса

Механическое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Об этом говорит 3-й закон Ньютона две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению, причём эти силы направлены вдоль прямой линии, соединяющей эти точки, т. е. .

Силы и приложены к разным материальным точкам и могут взаимно уравновешиваться только тогда, когда эти точки принадлежат одному и тому же абсолютно твёрдому телу.

3-й закон Ньютона существенно дополняет первые два. Он позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Из него следует, что в любой системе материальных точек векторная сумма всех внутренних сил этой системы равна нулю, т. е.

, (3)

где n - число материальных точек системы, причем , т. е. точка сама на себя не действует.

Векторная сумма всех внешних сил системы материальных точек называется главным вектором внешних сил

.

Из 2-го и 3-го законов Ньютона следует, что первая производная от импульса системы точек по времени равна главному вектору внешних сил

. (4)

Это уравнение выражает закон изменения импульса системы материальных точек.

В замкнутой механической системе . Тогда выражение (4) примет вид

или

.

Последнее выражение представляет собой закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек векторная сумма импульсов материальных точек замкнутой системы есть величина постоянная и неизменная во времени.

2.5. Центр масс и закон его движения

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется т. С, радиус - вектор которой равен отношению суммы произведения масс всех материальных точек системы на их радиус - векторы к массе всей системе

где и - масса и радиус - вектор i-й материальной точки n - число материальных точек в системе - суммарная масса системы.

Если радиус - векторы проведены из центра масс С (обозначим их со звёздочкой ), то .

Таким образом, центр масс - это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек системы на их радиус - векторы, проведённые из этой точки, равна нулю.

При непрерывном распределении массы в системе (например, сплошное тело) радиус - вектор центра масс системы будет

,

где - радиус - вектор малого элемента системы с массой , а интегрирование производится по всем элементам системы, т. е. по всей его массе.

При движении механической системы материальных точек скорость её центра масс равна отношению импульса этой системы к её массе

,

откуда импульс системы будет .

Подставим это выражение в уравнение (4)

- закон движения центра масс. Т. е. центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил системы.

В замкнутой системе , зн. скорость центра масс такой системы не изменяется со временем.

Если рассматриваемая система - абсолютно твёрдое тело, которое движется поступательно, то скорости всех его точек, в т. ч. и центра масс, одинаковы и равны скорости тела. Следовательно, основное уравнение динамики поступательного движения твёрдого тела в соответствии с выражением (4) примет вид

или .