7.6. Элементы релятивистской динамики
Релятивистский импульс. Чтобы обеспечить инвариантность закона сохранения импульса в отношении преобразований Лоренца, в определении импульса тела в ньютоновской механике
заменим
время
собственным
временем частицы
,
т. е. определим релятивистский импульс
как
.
Подставив сюда выражение , получим
Отсюда
видно, что зависимость импульса от
скорости частицы
является нелинейной. При
получаем ньтоновский импульс
.
Иногда для формального совпадения
выражений релятивистского и ньютоновского
импульсов выражение
отождествляют с понятием релятивистской
массы, а под массой
понимают массу покоя тела.
Основное уравнение
релятивистской динамики.
Подставим полученное выражение импульса
в основной закон Ньютоновской механики
.
(8)
Отсюда видно, что в СТО масса утрачивает смысл коэффициента пропорциональности между ускорением и силой. В отличии от ньютоновской механики, сила не является инвариантной по отношению к инерциальной СО в разных СО она даёт разные модули и направления. Более того, в СТО сила и ускорение как векторы не совпадают по направлению
Кинетическая
энергия .
Определим изменение кинетической
энергии как элементарную работу внешних
сил, т. е.
.
Попытаемся получить
это выражение из основного закона
релятивистской динамики. Умножим правую
часть выражения (8) на перемещение частицы
,
а левую - на
.
В результате получим
.
Справа
стоит элементарная работа
,
тогда слева должно быть изменение
кинетической энергии частицы. Преобразуем
это выражение
Легко
убедиться, что полученное выражение
является полным дифференциалом выражения
.
Следовательно изменение кинематической энергии будет
,
а сама энергия
.
Кинетическая
энергия частицы обязана равняться нулю
при
.
Тогда с учётом предыдущего выражения
получим константу интегрирования
.
Следовательно окончательно имеем
.
(9)
Разлагая последнее
выражение в ряд Маклорена по степеням
,
получим
При
остальными
членами ряда можно пренебречь. В
результате имеем ньютоновское выражение
кинетической энергии
.
Обратим внимание,
что в соответствии с выражением (9)
кинетическая энергия определилась как
разность каких - то энергий. Выражение
называют энергией покоя частицы, а её
сумму с кинетической энергией - полной
энергией частицы, равной
.
В релятивистской механики полная энергия
системы сохраняется.
7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии. Закон сохранения 4-х мерного вектора энергии - импульса
Масса тела и его
энергия покоя связана соотношением
.
Следовательно при
всякое изменение массы на
должно
сопровождаться изменением энергии
покоя на
и
наоборот, т. е.
.
(10)
Соотношение (10)
называется законом взаимосвязи массы
и энергии покоя. Этот закон приводит к
тому, что суммарная масса взаимодействующих
частиц не сохраняется. Пусть две
одинаковые частицы движутся навстречу
друг другу с равными по модулю скоростями
и испытывают абсолютно неупругий удар.
Полная энергия системы частиц до удара
была
.
Ввиду равенства масс и модулей скоростей
частиц до удара, после удара их скорости
будут ноль. Следовательно полная энергия
после удара будет равна только энергии
покоя, т. е.
,
где М - новая суммарная масса частиц
после удара. По закону сохранения полной
энергии имеем
откуда
Т. е. масса системы после удара стала больше, чем до удара. Это объясняется тем, что кинетическая энергия до удара превратилась в энергию покоя системы после удара, что и привело к возрастанию массы системы.
В СТО, как и в
ньютоновской механике, для замкнутой
системы сохраняются импульс
и энергия
.
Трёхмерный вектор
и
энергия образует 4-х мерный вектор
энергии - импульса с компонентами
и
.
В этом случае инвариантной по отношению
к преобразованиям Лоренца (т. е.
сохраняющейся) будет являться величина
,
где
- полная энергия
- релятивистский
импульс
- энергия покоя.
В заключении отметим, что все выводы СТО были блестяще подтверждены в экспериментах с элементарными частицами.