6.4. Гидростатика

Гидростатика изучает условия равновесия жидкости и тел, находящихся в ней.

Уравнение равновесия жидкости получим из уравнения Эйлера (3) при условии : . Если жидкость находится в однородном поле силы тяжести ( ) и ось z направлена вертикально вверх, то уравнение равновесия примет вид или ,

где - давление жидкости на её поверхности при Z=0, глубина.

Отсюда видно, что разность давлений не зависит от , а зависит только от глубины h жидкости и на данной глубине во всех направлениях одинаково (закон Паскаля).

Вторым законом гидростатики является закон Архимеда на погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила, численно равная весу жидкости, вытесненной телом, и приложена в центре масс объёма погружённой части тела, т. е. (рис. 3). Если тело в жидкости находится в равновесии, то - условие плавания.

6.5. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости под действием разности сил давления и самой жидкости (рис. 4). Работа, совершаемая этими силами, будет равна изменению полной энергии жидкости, т. е. .

Работа сил давления будет

.

Изменение полной энергии между сечениями 1 и 2

Следовательно

или

. (4)

Уравнение (4) называется уравнением Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости. В этом уравнении давление называется статическим, давление - динамическим, давление - гидравлическим.

Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде ( рис. 5). Применим уравнение Бернулли для сечений 1 и 2, положив и - равно атмосферному. Тогда , откуда

(5)

где - высота открытой поверхности жидкости над отверстием. Выражение (5) называется формулой Торричелли.

При истечении жидкости из отверстия сосуд будет испытывать по 3-му закону Ньютона действие силы , модуль которой , а направление противоположно вектору скорости вытекающей жидкости. С учётом выражения (5) получим , где - гидравлическое давление на глубине , а - сила этого давления. Отсюда видно, что сила реакции вытекающей струи превосходит силу гидравлического давления в два раза. На вытекании струи газа основного действие реактивных двигателей.

6.6. Вязкая жидкость. Стационарное движение вязкой жидкости

Всем реальным жидкостям и газам присуще внутреннее трение (вязкость). Рассмотрим механизм её возникновения. Возьмём круглую трубу с медленно текущей в ней жидкостью (рис. 6).

Опыт показывает, что скорость частиц жидкости изменяется от нуля вблизи трубы до максимума на её оси. Жидкость при этом оказывается как бы разделённой на тонкие цилиндрические слои, которые скользят относительно друг друга не перемешиваясь. Такое течение называется ламинарными (Lamina (лат.) - пластинка, полоска). Опыт показывает, что для стационарного течения жидкости по трубе необходимо наличие постоянной разности давление на её концах. В этом случае действие разности сил давлений компенсируется силами внутреннего трения на границе жидкости со стенкой трубы и на границах между слоями. Более быстрый слой стремится увлечь за собой медленный, действуя на него с силой , направленной по течению (рис. 7). Но более медленный слой стремится замедлить более быстрый слой, действуя на него с противоположной по направлению силой . Модуль этой силы трения определяется законом Ньютона

,

где - площадь соприкосновения двух слоёв, - коэффициент пропорциональности, называемый динамической вязкостью жидкости. Различают ещё кинематическую вязкость В системе СИ ; .

Как отмечалось, при ламинарном течении скорость частиц жидкости изменяются от нуля до максимума. Найдём закон изменения скорости вдоль радиуса трубы. Выделим в трубе трубку тока в виде цилиндра радиуса и длиной (рис. 8). При ламинарном течении , т. е. , следовательно по 2-му закону Ньютона получим

где - результирующая сил давления слева и справа, - сила внутреннего трения нашей трубки (знак «-», т. к. убывает от центра к трубе). Следовательно

Разделив переменные, получим

.

Проинтегрируем это уравнение

Константу интегрирования определим из начального условия , т. е. Тогда будем иметь

Скорость на оси трубы при будет

(6)

С учётом этого запишем

(7)

Т. е. при ламинарном течении скорость изменяется по параболе (рис. 9). Определим объём жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени (поток жидкости ).Выделим в поперечном сечении трубы кольцо радиуса и шириной ( рис. 10).

Поток сквозь кольцо будет или с учётом выражения (7)

Проинтегрируем это выражение по радиусу в пределах от до

.

Подставив сюда выражение (6), получим

формула Пуазейля.