6. Элементы механики жидкостей и газов

6.1. Общие свойства жидкостей и газов

В механике жидкостей и газов отвлекаются от их молекулярного строения и рассматривают как сплошную среду, непрерывно распределённую в пространстве. Этот раздел механики изучает законы равновесия и движения жидкостей и газов, а также взаимодействие с омываемыми ими твёрдыми телами.

Отличительной особенностью жидкостей и газов от твёрдых тел является их текучесть, т. е. малая сопротивляемость деформации сдвига. Различие между жидкостями и газами заключается лишь в зависимости плотности от давления, т. е. в практической несжимаемости жидкости и сильной сжимаемости газов. В механике для капельных жидкостей и газов обычно используют термин «жидкость» (несжимаемая или сжимаемая).

Несжимаемая жидкость - это капельная жидкость или газ, изменением плотности от давления которых можно пренебречь в данной задаче. Сжимаемая жидкость - это газ, для которого такой зависимостью пренебречь нельзя.

Идеальная жидкость - это жидкость, в которой отсутствует внутреннее трение. Вязкая жидкость - это жид­кость, в которой этим нельзя пренебречь.

6.2. Кинематическое описание движения жидкости

Частица сплошной среды - это малый элемент её объёма, размеры которого гораздо больше молекулярных расстояний. Такие частицы жидкости ввиду их малости можно считать материальными точками.

В кинематике жидкостей для описания их движения используют два подхода метод Лагранжа и метод Эйлера.

В методе Лагранжа движение жидкости задаётся указанием во времени координат всех её частиц. Скорости и ускорения частиц находят как производные от этих координат.

Основным методом является метод Эйлера, который предполагает задание скоростей частиц жидкости в простран­стве и времени, т. е. где - радиус вектор, определяющий положение час­тицы в пространстве относительно выбранной системы координат. Переменные x, y, z и t называют переменными Эйлера. Заданное таким образом распределение скоростей в пространстве и времени называется поле скоростей жидкости.

Соответственно ускорение частиц будет

Первое слагаемое - это локальное ускорение, обусловленное изменением поля скоростей во времени. Второе слагаемое - это конвективное ускорение, обусловленное неоднородностью поля скоростей в пространстве.

Движение жидкости называется стационарным (установившемся), если поле скоростей неизменно во времени. В противном случае имеем неустановившееся движение.

Линией тока называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором скорости жидкости в данной точке (рис. 1). Если движение стационарное, то линии тока совпадают с траекторией частиц жидкости. Уравнение линий тока имеет вид

Трубка тока - это поверхность, образованная всеми линиями тока, образующими замкнутый контур. Часть жидкости, ограниченная трубкой тока, называется струйка. При стационарном движении трубки тока неизменны во времени, а частицы жидкости остаются в пределах одной и той же струйки.

6.3. Уравнение движения жидкости

Различаются два типа сил, действующих на элемент объёма жидкости массовые и поверхностные.

Массовые силы - это такие, действие которых не зависит от присутствия других частей жидкости, кроме рассматриваемого элемента. Их модуль пропорционален массе этого элемента жидкости. Например, сила тяжести. Массовая сила определяется как , где - объём рассматриваемого элемента, - плотность жидкости, - напряжённость поля массовых сил. Например, для силы тяжести - ускорение свободного падения. Массовые силы называют потенциальными, если их напряжённость можно представить в форме

,

где - потенциал массовой силы.

Поверхностными силами называют приложенные к элементу жидкости со стороны прилегающих к нему других элементов. Поверхностная сила, отнесённая к единице поверхности элемента жидкости, называется напряжением. В состоянии равновесия жидкости касательные напряжения будут равны нулю, а поверхностные силы будут представлять лишь силы давления жидкости.

Возьмём трубку тока стационарного течения жидкости (рис. 2). По закону сохранения массы , через любое сечение трубки в единицу времени пройдёт одна и та же масса жидкости, т. е. Заменив массу через плотность и объём, получим или с учётом

Таким образом, для любой пары сечения трубки имеем

или . (1)

В более общем виде полученное соотношение можно записать так

. (2)

Выражения (1) и (2) представляют собой уравнения неразрывности жидкости.

Уравнение движения жидкости с учётом массовых и поверхностных сил примет вид

Уравнение Эйлера (3)

где - давление жидкости

Основной задачей механики жидкостей является отыскание полей скорости, давления и плотности жидкости, движущейся под действием внешних сил, т. е. нахождение следующих 5-ти функций координат и времени

; ; ; ; .

Для решения этой задачи используют уравнения неразрывности и движения, а также начальные условия, т. е. значение этих 5-ти функции в момент времени .