4.5. Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела

При вращении тела вокруг неподвижной оси, момент относительно этой оси создаёт только составляющая силы , касательная к траектории точки её приложения. Поэтому элементарная работа силы будет

Т. к. векторы и взаимно ортогональны, то Тогда

Найдём выражение кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ. Кинетическая энергия малого элемента этого тела, отстоящего от оси вращения на расстоянии R, равна

.

Тогда кинетическая энергия всего тела при будет

где - момент инерции всего тела относительно оси вращения .

При произвольном движении твёрдого тела его кинетическая энергия будет ,

где - масса тела, - скорость поступательного движения его центра масс.

4.6. Законы сохранения и симметрия пространства - времени

В рассуждениях по поводу законов сохранения импульса и момента импульса мы основывались на 2-м и 3-м законах Ньютона если сумма внешних сил или их моментов равна нулю, то по 3-му закону Ньютона сумма внутренних сил или их моментов тоже равна нулю, а тогда по второму закону Ньютона

и или и .

К таким же выводам можно прийти исходя из симметрии пространства и времени, т. е. их однородности и изотропности.

Однородность пространства появляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала координат инерциальной системы отсчёта, т. е. от её перемещения в пространстве. А раз не зависит, то при малом перемещении системы отсчёта работа всех сил системы обязана быть равной нулю, т. е.

.

Т. к. , то следовательно обязана быть равной нулю сумма всех внутренних сил, а зн. импульс такой системы должен быть неизменным во времени.

Изотропность пространства проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от поворота её в пространстве, т. е. не зависят от направления осей координат (их поворота) в пространстве. А раз не зависят, то при малом повороте системы отсчёта работа всех сил системы обязана быть равна нулю, т. е.

.

Т. к. , то следовательно обязана быть равна нулю сумма моментов относительно начала координат всех внутренних сил системы, а зн. момент импульса такой системы должен быть неизменным во времени.

Время как физическая категория является однородной величиной, т. е. законы движения не зависят от выбора начала отсчёта времени. Если конфигурация системы неизменна во времени, то . Поэтому, если в системе отсутствуют непотенциальные силы или они не совершают работу, то механическая энергия такой системы не изменяется во времени - закон сохранения механической энергии.

5. Неинерциальные системы отсчета

5.1 Кинематика абсолютного, относительного и переносного движения

Различают инерциальные и неинерциальные системы отсчёта (СО). Инерциальные СО либо покоятся, либо движутся прямолинейно и равномерно. Неинерциальные СО движутся с ускорением.

Абсолютным движением материальной точки называется её движение по отношению к неподвижной СО. Такую СО назовем абсолютной.

Относительным движением материальной точки называется движение по отношению к любой подвижной СО. Такую СО назовём относительной.

Переносным движением материальной точки называется абсолютное движение той точки относительной СО, через которую проходит материальная точка в данный момент времени.

Рассмотрим движение т. М в абсолютной ( ) и относительной ( ) СО, которая в общем случае движется поступательно относительно первой СО со скоростью и вращается относительно т. с угловой скоростью (рис. 1).

Радиус - векторы т. М в названных СО связаны между собой так

, (1)

где распишем через орты ,

радиус - вектор, соединяющий т. т. О и .

Следовательно абсолютная скорость т. М, т. е. её скорость относительно абсолютной СО будет

. (2)

Разберёмся с каждым слагаемым выражения (2) отдельно. Первое из них есть скорость поступательного движения относительной СО. Второе слагаемое даст

. (3)

Часть выражения (3) есть относительная скорость т. М, т. е. её скорость в относительной СО.

Выясним физический смысл части II выражения (3). Т. к. изменение ортов во времени может происходить только за счёт вращения относительно СО, то часть выражения (3) есть - линейная скорость вращения той точки относительной СО, через которую в данный момент проходит т. М. Сумму линейных скоростей

(4)

называют переносной скоростью т. М.

Следовательно абсолютную скорость можно выразить следующим образом

. (5)

Последнее выражение называют законом сложения скоростей.

Аналогичным образом разберёмся с ускорением т. М относительно наших СО.В соответствии с выражением (5), абсолютное ускорение т. М, т. е. её ускорение в абсолютной СО будет

. (6)

Слагаемое в соответствии с частью выражения (3) даст

. (7)

Часть выражения (7) есть относительное ускорение т. М. Часть выражения (7) по изложенным ранее соображениям есть произведение .

Второе слагаемое выражения (6) в соответствии с выражением (4) даст

. (8)

Первое слагаемое есть ускорение поступательного движения т. . Второе слагаемое выражения (8) в соответствии с частью выражения (3) даст

. (9)

Часть выражения (9) представляет собой линейное ускорение вращения той точки относительной СО, через которую в данный момент проходит т. М. Это ускорение принято разлагать на две взаимно ортогональные составляющие вращательное и осестремительное ускорения.

Суму ускорений называют переносным ускорением т. М. Часть выражение (9) полностью совпадает с частью II выражения (7), т. е. будет равна

Таким образом, абсолютное ускорение т. М можно записать так

, (10)

где - поворотное (кориолисово) ускорение.

Заметим, что кориолисово ускорение возникает только для тех тел, которые движутся со скоростью относительно вращающихся систем отсчёта, причём так, что векторы и не направлены вдоль одной прямой.