4. Элементы динамики вращательного движения

4.1. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки и оси

Для характеристики внешнего механического воздействия на тело при его вращательном движении введём понятие момент силы.

Момент силы , действующей на материальную точку А (рис. 1), относительно неподвижной т. О (полюс) есть вектор , определяемый векторным произведением векторов и (рис. 1), т. е.

Модуль этого вектора , где - угол между векторами и  - плечо силы, т. е. длина перпендикуляра ОВ, опущенного из т. О на линию действия силы (рис. 1).

Если на материальную точку действуют сил, то их результирующий момент относительно т. О будет

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной т. О есть вектор , определяемый век­торным произведением векторов и , т. е.

Если механическая система состоит из материальных точек (твёрдое тело, например), суммарный момент импульса системы будет

. (1)

Если в качестве т. О взять т. С (центр масс), то момент сил относительно этих точек связаны между собой так

где - радиус - вектор, проведённый из т. О в т. С, - главный вектор сил системы.

Аналогичным соотношением связаны и моменты импульса системы

Момент силы (или момент импульса ) относительно неподвижной оси ОZ есть проекция на эту ось вектора (или вектора ) относительно любой точки этой оси (например, т. О).

4.2. Уравнения моментов. Закон сохранения момента импульса

Продифференцируем выражение (1) по времени

Здесь , т. к. векторы и коллинеарны.

Тогда

Разберёмся с суммой моментов внутренних сил. По 3-му закону Ньютона для каждой пары материальных точек системы

Тогда их суммарный момент будет Но векторы и коллинеарны (рис. 2), поэтому их векторное произведение даст ноль. Следовательно

.

В результате получим

, (5)

Последнее выражение представляет закон изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки производная по времени от вектора относительно т. О есть суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему относительно той же точки.

Если в качестве т. О взять т. С (центр масс), то выражение (2) примет вид

.

Для замкнутой системы момент внешних сил равен нулю по причине равенства нулю векторной суммы этих сил. Поэтому, в соответствии с выражением (2) получим

откуда откуда

Если в качестве неподвижной т. О взять т. С (центр масс), то

; ,

где - проекция вектора на ось, проходящую через т. С. Сделанные выше выводы носят название закон сохранения момента импульса момент импульса замкнутой системы относительно неподвижной точки или неподвижной оси есть величина постоянная и неизменная во времени.

В справедливости этого закона можно убедится на примере уравновешенного гироскопа с 3-мя степенями свободы вращательного движения. Такой гироскоп - это симметричное однородное тело, быстро вращающееся относительно оси, проходящей через центр его масс (рис. 3). Три степени свободы ему обеспечивает специальный подвес. Если центр подвеса (т. О) совпадает с центром масс гироскопа (т. С), то результирующий момент силы тяжести всех его материальных точек (частей) относительно т. О будет ноль. При любых поворотах подвеса ось гироскопа ОX не изменяет своего положения в пространстве. Причина этого в том, что при вращении гироскопа вокруг своей оси симметрии, его момент импульса направлен вдоль оси ОX. Но (без учёта малых сил трения в осях), поэтому , а зн. направление оси ОX должно не изменяться.

Гироскоп нашёл применение в гирокомпасах, в устройствах стабилизации кораблей и др. областях.