§9 Способ Верещагина и его применение

П редлагаемый способ является графо-аналитическим способом решения интеграла Мора, который заключается в «перемножении» эпюр изгибающих моментов по силовым участкам заданной системы. Такое решение возможно благодаря тому, что для систем, имеющих прямолинейные участки эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки имеет линейные очертания (прямоугольник, треугольник, трапеция).

Согласно способа Верещагина искомое перемещение представляет собой произведение площади грузовой эпюры на ординату единичной эпюры, которая располагается под центром тяжести грузовой эпюры на данном участке.

где ω_i – площадь грузовой эпюры на i^том участке.

 – ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой на i^том участке.

Рассмотрим пример (рис.6.28)

θ_B – ?

При использовании способа Верещагина для упрощения расчетов можно учитывать следующие рекомендации.

1) При перемножении эпюр, имеющих линейные очертания можно использовать площадь одной из них, а ординату другой в прямом и обратном порядке.

2 ) Если перемножаемые эпюры имеют сложную форму, то можно их разбивать на простые части и перемножать по отдельности.

3 ) В некоторых случаях сложные эпюры удобно перемножать, используя прием расслоения эпюр. В этом случае в пределах данного участка строятся эпюры от каждой нагрузки в отдельности, которые перемножаются поочередно с единичной эпюрой.

4 ) При перемножении эпюры, имеющей форму скрученной трапеции, ее целесообразно дополнить до двух треугольников, которые затем перемножаются по отдельности с другой эпюрой.

5 ) Когда обе перемножаемые эпюры имеют сложную форму можно использовать так называемую формулу Симпсона.

Способ Верещагина является достаточно удобным и простым для расчета перемещений в упругих системах при любых видах деформаций. Однако его нельзя применить для систем, имеющих криволинейные участки.

§10 Статически неопределимые системы при изгибе.

Каноническое уравнение метода сил (КУМС).

Статически неопределимая система (СНС) при изгибе обладает теми же свойствами, что СНС при растяжении-сжатии и кручении, однако имеют следующую особенность.

Степень неопределимости в таких системах может быть образована как внешними, так и внутренними признаками построения СНС.

Система неопределима внешним образом, если её элементы имеют ограничения по перемещению в пространстве. Такие ограничения накладываются опорными связями и в этом случае степень СНС по внешним признакам находится по известной формуле

где R – число неизвестных реакций опор СНС,

У – число уравнений статики.

Степень СНС образована внутренними признаками, если они накладывают ограничения на относительные перемещения точек системы по отношению друг к другу. К ним относятся дополнительные элементы, шарниры, узлы и прочие геометрические факторы.

В этом случае степень СНС по внутренним признакам находится по следующей формуле

где K – число замкнутых контуров СНС (например, рамок),

У – число шарниров, врезанных в элемент СНС в пересчете на простые шарниры.

П ростым называется шарнир, в котором сходятся только два стержня.

Сложный шарнир, в котором сходятся более 3^х стержней можно заменить n–1 простыми шарнирами (n – число стержней, сходящихся в сложном шарнире).

Таким образом, степень СНС можно определить сложив зависимости (21.1) и (21.2).

Для решения СНС при изгибе в курсе сопротивления материалов применяются метод сил, метод перемещений и комбинированный метод. Наиболее часто применяется метод сил, в частности прием сравнения перемещений, канонические уравнения метода сил (КУМС) и уравнения трех моментов.

Удобно и математически относительно несложно провести решение СНС с применением КУМС.

Д ля составления канонических уравнений устанавливается число лишних связей системы. Эти лишние связи (например, реакции опор) обозначаются буквами X_i независимо от того сила это или момент (рис.6.34)

Для каждой лишней опоры составляется уравнение деформаций в виде суммы перемещений, вызванных действиями всех лишних связей и внешних нагрузок, причем эти деформации на опорах должны равняться нулю. Для удобства записи и решения эти уравнения составляются по определенному правилу (или канону).

В общем случае КУМС записывается так:

где δ_ij – перемещение в i^той точке под действием единичной силы, приложенной к j^той точке.

δ₁₁, δ₂₂, δ₃₃, ... δ_nn – главные коэффициенты КУМС, представляющие собой единичные перемещения в i^той точке под действием единичной силы, приложенной в той же точке. Они определяются по способу Верещагина путем перемножения эпюр от единичных сил «самих на себя».

δ₁₂, δ₁₃, ... δ_ij – побочные коэффициенты, представляющие собой единичные перемещения, определяемые по способу Верещагина путем перемножения единичных эпюр между собой.

Δ_1F, Δ_2F, ... Δ_nF – грузовое перемещение, определяемое как перемещение в i^той точке под действием системы внешних нагрузок.

По способу Верещагина оно находится путем перемножения грузовой эпюры момента на единичную эпюру под действием i^той единичной силы.

Определив все единичные и грузовые перемещения КУМС, решается данная система и определяются неизвестные усилия X₁; X₂; X₃ ... X_i ... X_n.

По завершении раскрытия неопределимости СНС строятся необходимые эпюры (для рамы – N, Q и M). и выполняются две проверки – статическая и деформационная.

Статическая проверка заключается в проверке равновесия элементов или узлов системы (см. задачу № 12 РПР-2).

Деформационная проверка сводится к расчету перемещений тех точек системы, где действуют лишние связи (X_i). Обычно проверяется равенство нулю перемещений в опорах системы. Для этого необходимо по способу Верещагина перемножить конечную эпюру изгибающих моментов с единичной эпюрой, построенной для i^той лишней связи.

В некоторых случаях при решении СНС можно уменьшить количество перемножений эпюр, если использовать эффект симметрии геометрического построения или силового нагружения системы (рис.6.35).

В следующем случае система рассекается по оси симметрии и в качестве лишних связей выбираются внутренние силовые факторы в проведенном сечении.

Тогда единичные эпюры от соответствующих внутренних силовых факторов будут иметь либо симметричную, либо кососимметричную формы

Следовательно, при перемножении симметричной эпюры на кососимметричную получаем перемещение равное нулю.