§3 Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок при изгибе

В общем случае при изгибе в сечениях балки действуют как нормальные, так и касательные напряжения. Любая точка балки находится в упрощенном плоском напряженном состоянии.

Решая обратную задачу можно найти положение главной площадки и величины главных напряжений (σ₁, σ₃).

Анализируя напряженное состояние при изгибе для опасных точек балки и используя (16.3)-(16.6) можно выполнить полную проверку прочности балки при изгибе, для этого необходимо рассмотреть три типа опасных точек в разных сечениях исследуемой балки. Проведем т0акую проверку, выбрав следующую расчетную схему (рис. 6.15)

Полная проверка прочности балки при изгибе выполняется по трем типам опасных точек. Опасная точка I типа: по длине балки находится сечения, где действует максимальный по модулю изгибающий момент (сечение I-I), а по высоте балки – в крайних волокнах от нейтральной линии, где имеют место максимальные нормальные напряжения (точки 1 и 5). В этих точках имеет место линейное напряженное состояние. Условие прочности для точек I типа имеет такой вид (основное условие прочности)

О пасные точки II типа располагаются по длине балки в сечениях с максимальной поперечной силой (сечение II-II левое и правое), а по высоте балки – на уровне нейтральной линии (точка 3 левая и правая), где действует максимальное касательное напряжение. В этих точках возникает частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет такой вид

Опасные точки III типа располагаются в сечениях балки, где возникает неблагоприятное сочетание больших изгибающего момента и поперечной силы (сечение III-III левое и правое), а по высоте балки – между крайними волокнами и нейтральной линией, где одновременно большие нормальные и касательные напряжения (точки 2 и 4 левая, правая). в этих точках возникает упрощенное плоско-напряженное состояние. Условие прочности для точек III типа записывается согласно теории прочности (например, для пластичного материала: по III или IV теории).

Если по мере выполнения расчетов прочность по одному из условий не выполняется, то необходимо увеличить размеры сечения балки или увеличить номер профиля согласно таблиц сортамента.

Приведенный выше анализ напряженного состояния балок при изгибе позволяет грамотно конструировать элементы сооружений и рационально выбирать их поперечные сечения, например, для железобетонных конструкций целесообразно использовать стальную арматуру и располагать её по линиям, совпадающим с траекторией главных растягивающих напряжений.

§4 Деформации при изгибе. Общие понятия.

В теории изгиба расчет на прочность в большинстве случаев выполняется расчетом на жесткость. В этом случае оценивается упругая податливость балки и определяются такие её размеры, чтобы возникающие деформации не превышали допустимых пределов, т.е. условие жесткости можно представить в таком виде

где f_max – максимальная расчетная деформация;

[f] – допускаемая деформация.

Рассмотрим основные элементы деформированного состояния балки (рис.6.16).

у пругая линия (у.л.) – искривленная ось балки под действием нагрузки;

y – прогиб – вертикальное перемещение, отсчитываемое перпендикулярно к исходной оси балки;

u – горизонтальное перемещение или смещение балки (обычно бесконечно малая величина, ≈ 0);

θ – угол поворота сечения к заданной точке.

П ри изгибе балки линейная и угловая деформации (y и θ) имеют свои правила знаков согласно следующей схеме (рис.6.17).

Правило знаков для y:

вверх «+», вниз «–».