Правило знаков для θ:

(для правой системы координат)

против часовой стрелки «+»,

по часовой стрелке «–».

Для левой системы координат наоборот.

Между прогибом и углом поворота существует дифференциальная зависимость, которую можно получить рассматривая координаты некоторой плоской кривой (рис.6.18).

При нахождении линейных или угловых деформаций для реальных балок необходимо знать её уравнение упругой линии УУЛБ (уравнение упругой линии балки), имеющее такой общий вид:

Рассмотрим некоторые методы нахождения деформаций при изгибе, основанные на составлении и решении уравнения упругой линии балки.

§5 Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование.

(ДУУЛБ)

Из теории изгиба известна зависимость кривизны балки следующего вида

С другой стороны из курса высшей математики кривизна плоской кривой может быть представлена через её координаты следующим образом:

Приравнивая (18.3) и (18.4) получим точное ДУУЛБ

Полученное дифференциальное уравнение имеет большие трудности при решении, поэтому его упрощают, учитывая известную гипотезу малости деформаций

Учитывая небольшие углы поворота сечений для реальных балок получаем следующее приближенное ДУУЛБ, которое будет называться в дальнейшем основным дифференциальным уравнением упругой линии балки.

Данное уравнение справедливо для правой системы координат.

Полученное уравнение решается путем двойного интегрирования

В этом решении произвольные постоянные интегрирования представляют собой по геометрическому смыслу соответственно угол поворота и прогиб в начале координат

Произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных или начальных условий построения расчетной схемы балки. Рассмотрим основные разновидности граничных условий.

Виды граничных условий

Рассмотренный выше метод расчета перемещений при изгибе называется методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки МНИ ДУУЛБ.

Для его применения необходимо:

1. Выбрать систему координат (в крайнем сечении балки)

2. Для каждого силового участка балки составляется общее уравнение моментов, которое подставляется в основное ДУУЛБ.

3. Решается ДУУЛБ путем двойного интегрирования и определяется произвольная постоянная интегрирования из граничных условий.

4. В полученное уравнение упругой линии балки подставляются поочередно абсциссы искомых точек и определяются прогибы. Аналогично находятся углы поворотов с использованием дифференциальной зависимости (18.1).

МНИ обладает существенным недостатком, который заключается в том, что для решения балок с большим количеством силовых участков необходимо определить большое количество произвольных постоянных интегрирования (например, для n участков будет 2n таковых), поэтому данный метод целесообразно использовать только для балок, имеющих один или два участка. Для устранения названного недостатка предлагается более совершенный метод, основанный на ДУУЛБ и более рациональном его решении.

§6 Метод начальных параметров.

Универсальное уравнение упругой линии балки (УУУЛБ).

В отличие от предыдущего метода в предлагаемом методе ДУУЛБ составляется таким образом, что независимо от количества силовых участков балки приходится находить только две произвольных постоянных интегрирования – прогиб и угол поворота в начале координат (y₀, θ₀). Это достигается путем применения специальных правил при составлении уравнения моментов или уравнений прогибов. В этом случае все решение сводится к составлению УУУЛБ применительно к заданной расчетной схеме балки.

Общий вид УУУЛБ будет следующим:

После дифференцирования (18.13) получим универсальное уравнение углов поворота балки УУУЛБ.

где y₀, θ₀ – геометрические начальные параметры, т.е. прогиб и угол поворота в начале координат, определяются по граничным условиям;

М₀, Q₀ – статические начальные параметры, т.е. изгибающий момент и поперечная сила в начале координат; они определяются по условиям нагружения или по уравнениям равновесия.

M_i, F_i, q_i – момент, сосредоточенная сила и распределенная нагрузка в i^том сечении балки соответственно. Они включаются в уравнение со своими знаками в соответствии с «правилом зонтика» для изгибающего момента.

k_i – величина, характеризующая неравномерно распределенную нагрузку, например, треугольную или трапециевидную.

a_i, b_i, c_i, d_i – абсциссы сечений, где действуют соответствующие внешние нагрузки (M_i, F_i, q_i, c_i)