2. Дифференцирование функции двух независимых переменных

Частной производной функции z = f(x, у) по переменой х называется производная, вычисленная по обычным правилам дифференцирования в предположении, что у является постоянной величиной. Обозначается: .

Частной производной функции z = f(x, у) по переменой у называется производная, вычисленная по обычным правилам дифференцирования в предположении, что х является постоянной величиной. Обозначается: .

Дифференциалом функции двух независимых переменных называется выражение

.

Частные производные от частных производных называются частными производными второго порядка. Различают чистые частные производные, когда дифференцирование дважды осуществляется по одной переменной, и смешанные частные производные, когда дифференцирование осуществляется по разным переменным. Обозначаются: ; ; ; .

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования.

3. Экстремум функции двух независимых переменных

Функция z = f(x, у) имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими значениями функции из окрестности точки .

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а точка – экстремальной точкой.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если z = f(x, у) дифференцируемая функция и достигает в точке М₀(х₀, у₀) экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

, .

Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль (или не существуют), называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.

Пусть – стационарная точка функции z= f(x, у). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке :

; ; ,

а затем дискриминант = АС — В². Тогда достаточные условия экстремума функции z = f(x, у) в стационарной точке М₀(х₀, у₀) запишутся в следующем виде:

1. >0 – экстремум есть, при этом, если А>0 (или С>0 при А=0) в точке функция имеет минимум, а если А<0 (или С<0 при А = 0) – максимум;

2. < 0 – экстремума нет;

3. = 0 – требуются дополнительные исследования.

Дифференциальные уравнения

1. Основные определения

Дифференциальным называется уравнение вида

,

связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные вплоть до n-го порядка. Порядок уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение.

Если уравнение можно записать в виде , то оно называется обыкновенным.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид , где - произвольные постоянные.

Начальными называются условия вида:

.

Подстановка начальных условий в общее решение позволяет найти частное решение дифференциального уравнения, в котором постоянные принимают конкретное числовое значение.