6. Выпуклость и вогнутость графика, точки перегиба

График функции y=f(x) называется выпуклым в промежутке (a, b), если все точки графика лежат ниже любой ее касательной на этом промежутке.

График функции называется вогнутым, если его точки лежат выше касательной.

Достаточный признак выпуклости и вогнутости графика функции. Если во всех точках промежутка (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f(x)<0, то график y=f(x) на этом интервале выпуклый; если f(x)>0, то график функции на этом интервале вогнутый.

Точки, в которых график функции переходит с одной стороны своей касательной в этой точке на другую ее сторону (т.е. пересекает свою касательную), называются точками перегиба. Точка перегиба отделяет выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой.

Необходимый признак точки перегиба: в точке перегиба вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Достаточный признак того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Пусть кривая определяется уравнением y=f(х). Если f(х₀)=0 или f(х₀) не существует и при переходе через значение х=х₀ производная f(х) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=х₀ есть точка перегиба.

7. Общий план исследования функции

Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика должно быть заключительным этапом исследования функции, в котором должны быть использованы все результаты ее исследования. Исследование функции рекомендуется вести в определенной последовательности:

1. найти область определения функции;

2. определить симметрию графика функции (четность, нечетность функции), определить точки пересечения графика функции с осями координат;

3. определить точки разрыва и их характер, вертикальные асимптоты графика;

4. проверить наличие горизонтальной или наклонной асимптоты;

5. найти точки максимума и минимума, максимальные и минимальные значения функции, интервалы возрастания и убывания функции;

6. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба.

7. Схематично построить график функции, найти область значений функции.

Основы интегрального исчисления

1. НеопределеннЫй интеграл

Функция называется первообразной функции , если выполняется условие: .

Теорема. Если и две первообразные одной и той же функции , то они отличаются не более, чем на константу, то есть .

Следствие. Если - одна из первообразных функции , то любая другая первообразная имеет вид .

Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается , здесь называется подынтегральной функцией, а - подынтегральным выражением.

Таким образом, окончательно = .

Свойства неопределенного интеграла.

I. Свойство о связи интегрирования и дифференцирования:

1.  ; 2.  ; 3.  .

Таким образом, интегрирование и дифференцирование взаимнообратные операции. Встречаясь последовательно в некотором математическом выражении они взаимно уничтожаются.

II. Свойство линейности:  .

III. Свойство инвариантности: формула интегрирования не изменится при замене переменной на некоторую дифференцируемую функцию этой переменной. Следствие: .

2. Таблица ОСНОВНЫХ неопределенных интегралов

; ; , при ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; .

3. Методы интегрирования

3.1. Непосредственное интегрирование

Непосредственным называется интегрирование, осуществляемое использованием таблицы и свойств неопределенного интеграла, а также путем тождественных преобразований.

3.2. Интегрирование по частям

Пусть и - две функции. Тогда имеет место формула

.

3.3. Замена переменных

Если подынтегральная функция представляет собой произведение функции сложного аргумента на производную этого аргумента, вычисленную с точностью до постоянной, то тогда выполнив замену сложного аргумента на новую переменную можно упростить интегрирование и свести его к непосредственному:

.

4. Определенный интеграл

Определенным называется интеграл вида . Если подынтегральная функции неотрицательна, то определенный интеграл равен по величине площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции, прямыми , и осью абсцисс. Ниже перечислены основные свойства определенного интеграла.

1.  ;

2. если , то ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6. если , то .

5. Вычисление определенных интегралов

Формула Ньютона-Лейбница

Если существует непрерывная функция F(x) такая, что , то .

Интегрирование по частям

.

Замена переменных в определенном интеграле

Теорема. Пусть     f(x) интегрируема на [a, b],   j(t) монотонно возрастает и j(a)=a, b(j)=b, а для любого существует . Тогда .

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. основные определения

Если любой упорядоченной паре чисел (х, у) из некоторого числового множества D поставлено в соответствие согласно некоторому правилу число z из множества Z, то говорят, что на множестве D задана функция z = f(x, у). При этом переменные х и у называются независимыми переменными (или аргументами), а переменная z – за­висимой переменной или функцией двух переменных. Множество D называется областью определения функции, а множество Z – множеством значений функции.

Аналогично можно определить функцию любого конечного числа независимых переменных.

Функция двух переменных z = f(x, у) может быть задана таблично, графически и аналитически.

Геометрическим изображением функции z = f(x, у) в прямоугольной системе координат Oxyz (графическое задание функции) является некоторая поверхность. Графически задать функцию трех и большего числа переменных не представляется возможным.

Линией уровня z = с функции z = f(x, у) называется линия плоскости f(x, у)= с. В каждой точке, лежащей на этой линии, функция z = f(x, у) принимает значение, равное с. Поверхностью уровня функции и = f(x, у, z) называется поверхность f(x, у, z) = с, в точках которой функция и = f(x, у, z) сохраняет значение, равное с.