7. Асимптоты графика функции
Асимптота – это прямая линия к которой график функции бесконечно близко приближается при удалении аргумента функции на бесконечность.
График функции
имеет вертикальную
асимптоту
если
– точка разрыва второго рода.
Если существуют
конечные пределы
и
,
то
и
– правая и левая горизонтальные
асимптоты
соответственно.
Если существуют
конечные пределы
и
,
то график функции имеет наклонную
асимптоту
.
Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная и дифференциал функции
Предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при стремлении последнего к нулю, называется производной функции в точке :
.
Из определения
производной следует, что она представляет
собой скорость изменения функции. В
этом состоит ее механический смысл. В
частности, скорость неравномерного
прямолинейного движения есть скорость
изменения расстояния по отношению ко
времени:
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке (х, f(x)), т. е. f (x) = tg .
Если функция
y=f(x)
имеет производную f(х)
в точке х,
то произведение производной f`(x)
на приращение
аргумента называется дифференциалом
функции:
Дифференциал dx
независимой переменной совпадает с ее
приращением
.
Поэтому можно записать: dy=f
`(x)dx.
Отсюда
следует, что
т.
е. производную f
`(x)
можно рассматривать как отношение
дифференциала функции к дифференциалу
независимой переменной.
Производные основных элементарных функций:
1.
;
2.
;
3.
,
;
4.
,
,
,
;
5.
;
.
2. Основные правила дифференцирования
Пусть
,
тогда:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5. Производная сложной функции , где – промежуточный аргумент, равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной:
.
3. Производные высших порядков
Производной второго
порядка называется производная от
производной первого порядка функции:
.
Аналогично производной третьего порядка
называется производная от производной
второго порядка функции и т.д. В общем
случае производной п
– го порядка называется производная
от производной (п–1)
– го порядка функции:
.
4. Монотонность функции
Функция y=f(x) на интервале (a, b) называется:
возрастающей, если для любых точек этого интервала
<
выполняется условие
;убывающей, если для любых точек этого интервала < выполняется условие
;постоянной, если для любых точек этого интервала < выполняется условие
.
Перечисленные функции называются монотонными.
Достаточный признак монотонности. Если в каждой точке интервала (a, b):
,
то функция на этом интервале возрастает;
,
то функция на этом интервале убывает;
,
то функция на этом интервале постоянна.
5. Экстремумы функции
Значение f(x0) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции у = f(x), если в некоторой окрестности точки x0 для любого x выполняется условие f(x0) > f(x) (f(x0)<f(x)). Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции. Локальные максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума или минимума – точками экстремуме
Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если функция у = f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то производная f'(x) в этой точке обращается в нуль или не существует.
Точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует, называются критическими. Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.
Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть х0 – критическая точка функции у = f(x); если при переходе через точку х0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) в точке х0 имеет локальный мак (локальный минимум); если же производная f'(x) не меняет знак в окрестности точки х0, то данная функция не имеет в точке х0 локального экстремума.