2. Определители

Любой квадратной матрице порядка п ставится в соответствие число, называемое определителем этой матрицы. Определитель записывается в виде квадратной таблицы и вычисляется по определенному правилу.

Матрица называется невырожденной если ее определитель неравен нулю.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (п – 1)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе n -го порядка строки и столбца, содержащих эле­мент .

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на : = .

Теорема Лапласа: каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

3. Обратная матрица

Матрица называется обратной для квадратной невырожденной матрицы , если выполняется равенство:

.

Для обращения матрицы необходимо:

1. Вычислить определитель матрицы А: .

2. Составить присоединенную матрицу , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А.

3. Транспонировать присоединенную матрицу: .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

5. Выполнить проверку.

4. Ситсемы линейных уравнений

Общий вид системы линейных уравнений с неизвестными:

,

где

, .

Здесь А – матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов.

Если матрица системы невырожденная, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено:

а) методом обратной матрицы по формуле: ;

б) по формулам Крамера: , где – определитель, полученный из определителя матрицы системы заменой -го столбца столбцом свободных членов.

Элементы аналитической геометрии

1. Векторы

Вектором называется направленный отрезок плоскости или пространства. Обозначается: или , где – точка начала вектора, – точка конца. Вектор может быть задан проекциями в виде: .

Модулем вектора называется его длина, которая вычисляется по формуле:

.

Пусть даны векторы и . Можно выполнить следующие линейные операции над ними:

1. Сумма (разность) векторов: .

2. Умножение на число:

Скалярным произведением векторов и называется число, получаемое по формуле: , где – угол между векторами, или в координатной форме .

Векторным произведением векторов и называется вектор, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах, а координатная форма имеет вид:

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное по величине объему параллелепипеда, построенного на векторах, и вычисляемое по формуле:

2. Прямая на плоскости и в пространстве

Прямая на плоскости однозначно проходит через две заданные точки и . Основными видами уравнения прямой на плоскости является:

1) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: ;

2) уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где – угловой коэффициент, равный по величине тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, – отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат;

3) уравнением прямой с угловым коэффициентом и проходящей через заданную точку :

Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны . Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты взаимообратные с противоположным знаком .

Прямая в пространстве проходит через две заданные точки и . Уравнение прямой имеет вид: .

Прямая в пространстве однозначно проходит через точку параллельно вектору , который называется направляющим. Уравнение прямой имеет вид: .