2. Классическая вероятность

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление такого события.

Количественной мерой возможности появления некоторого случайного события служит вероятность.

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n): .

Классическая вероятность обладает следующими свойствами:

1. вероятность достоверного события равна единице;

2. вероятность невозможного события равна нулю;

3. вероятность случайного события определяется неравенством .

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов широко используются формулы комбинаторики:

• если составляются такие комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг то друга только составом элементов, то они называются сочетаниями ;

• если комбинации отличаются и составом элементов, и порядком их следования, то они называются размещениями: ;

• если комбинации берутся из всех n элементов и отличаются только порядком следования элементов, то они называются перестановками: .

3. Действия над событиями и вероятностями

Суммой событий А и В называется событие С состоящее в том, что хотя бы одно из этих событий в результате испытания произойдет.

Произведением событий А и В называется событие С состоящее в совместном наступлении этих событий в результате испытания.

Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: .

Следствия:

1. сумма вероятностей событий образующих полную группу равна единице;

2. сумма вероятностей противоположных событий равна единице, а значит .

Теорема 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: . События называются независимыми, если появления одного из них в результате испытания не меняет вероятность появления другого.

4. Формула Бернулли

Пусть производится независимых однородных испытаний, в каждом из которых событие А может наступить а может не наступить, причем вероятность наступления события в каждом из испытаний одна и та же . Обозначим вероятность наступления противоположного события . Вероятность того, что интересующее нас событие наступит в испытания ровно раз обозначается и вычисляется по формуле Бернулли:

.

5. Случайные величины

Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин. Дискретной называется такая случайная величина, значения которой есть счетное множество фиксированных величин. Непрерывной называют такую случайную величину, которая принимает любое значение из некоторого интервала. Случайные величины обозначаются прописными буквами Х, У, Z, а их возможные значения соответствующими малыми буквами.

Для описания поведения дискретной случайной величины Х задают все значения , которые она может принять, и вероятности появления этих значений ( ).

Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, представленная в виде таблицы:

Х			…
р			…

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида . Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризует дисперсия. Дисперсией дискретной случайной величины Х является:

.

Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга.

Вероятность события (где Х – значение непрерывной случайной величины, а x – произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от x, называется функцией распределения вероятностей: .

Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности: .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла . Дисперсией непрерывной случайной величины называется значение интеграла .