- •Федеральное агентство по образованию
- •Введение 4 Основные формулы 5 Примеры решения задач 9
- •Введение
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
- •2. Основы термодинамики
- •Подставив данные, приведенные в условии задачи получим:
- •Решение:
- •Список литературы
- •Основы молекулярной физики и термодинамики методические указания
2. Основы термодинамики
Задача 7. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К.
Дано: т = 2 кг Т = 400 К М = 2·10 –3 кг/моль |
Решение: Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная. Связь между атомами считаем жесткой, тогда
|
<Eпост> - ? <Eвр> - ? |
число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия:Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i= 2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы:
, .
Число молекул, содержащихся в массе газа m: , где ν – число молей, NA – число Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода будет: , (1)
где R = kNA – молярная газовая постоянная.
Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода: . (2)
Подставляя числовые значения и формулы (1) и (2), имеем:
Ответ: 4986 кДж, 3324 кДж.
Задача 8. При адиабатическом сжатии давление воздуха было увеличено от Р1 = 100 кПа до Р2 = 1 МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена до первоначальной. Определить давление Р3 газа в конце процесса.
Дано: Р1 =100 кПа=1·105 Па Р2 = 1 МПа =1·106 Па V2 = const = 1,4 Р3 – ?
|
Решение: На PV диаграмме представлен график, соответствующий процессу, указанному в условии задачи. |
Процесс адиабатического сжатия 1-2 совершается без теплообмена и согласно уравнению Пуассона:
(1)
Макроскопические параметры P, V, T воздуха в состоянии 1, 2, 3 связаны соотношением:
,
откуда P1V1 = P3V3.
По условию задачи V2 = V3. Используя уравнение (1) можно записать
.
Тогда
Ответ:
Задача 9. Вычислить массу столба воздуха высотой 1 км и сечением 1 м2, если плотность воздуха у поверхности Земли а давлениеР0 = 1,013 ∙ 105 Па. Температуру воздуха считать одинаковой.
Дано: h = 1 км = 1000 м S = 1 м2 Т = const Р0=1,013 ∙ 105 Па = 1,2 кг/м 3 |
Решение: Атмосферное давление меняется с высотой, плотность воздуха также является функцией высоты . Массу воздуха в элементе объемаdV представим в виде: dm = . Найдем изменение плотности воздуха с высотой. |
m – ? |
Согласно уравнению состояния идеального газа |
. (1)
Продифференцировав (1), получим (2)
С другой стороны убыль давления dP при переходе от высоты h0 к высоте h0 + dh
(3)
где – плотность воздуха на высоте h.
Используя уравнения (2) и (3) получим:
или
Вычислим массу столба воздуха
Подставив данные, приведенные в условии задачи получим:
m = 1,13 · 103 кг.
Ответ: m = 1,13 · 103 кг.
Задача 10. Определить скорость вылета поршня массой 4 кг из цилиндра при адиабатном расширении кислорода в 40 раз, если начальное давление воздуха 107 Па, а объем 0,3 л.
Дано: Т = 4 кг V2/V1 = 40 p1 = 10 7Па V1 = 0,3 л = 3·10-4 м3 |
Решение: Работа А, совершаемая адиабатически расширяющимся воздухом, в данном случае идет на увеличение кинетической энергии поршня, т. е |
υ - ? |
,
где т и υ – масса и скорость поршня.
Для подсчета работы адиабатически расширяющегося газа воспользуемся формулой: , где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для кислорода γ =1,4).
Так как ,то ,
Ответ: 54 м/с.
Задача 11. Молекулярный пучок кислорода ударяется о неподвижную стенку. После соударения молекулы отражаются от стенки с той же по модулю скоростью. Определить давление пучка на стенку, если скорость молекул 500 м/с и концентрация молекул в пучке 5·10 24 м -3.
Дано: υ = 500 м/с n0 = 5·10 24 м –3 |
Решение: Давление определяется по формуле: , (1) |
р - ? |
где F – сила давления, S – площадь.
Силу давления найдем из второго закона Ньютона:
, (2)
где m – масса кислорода, ударившегося о стенку за время t, Δυ – изменение скорости молекул при ударе.
Массу одной молекулы кислорода найдем из закона Авогадро:, гдеМ = 32·1023 кг/моль – молярная масса кислорода; NA =– постоянная Авогадро.
За время t о стенку ударяются молекулы, находящиеся в объеме: , масса которых:. (3)
Изменение скорости при соударении:. (4)
Подставляя выражения (3), (4) в (2), находим: , откуда,.
Ответ: 1,33·105 Па.
Задача 12. Определить удельные теплоемкости ср, сv, для смеси 1 кг азота и 1 кг гелия.
Дано: m1= 1 кг М1= 28 кг/кмоль i1 = 5 m2 = 1 кг М2= 4 кг/кмоль газа. i2 = 3 |
Решение: Удельной теплоемкостью какого – либо газа называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы тела, чтобы повысить его температуру на 1 градус. При этом величина теплоемкости зависит от условий, при которых |
ср - ? сv - ? |
происходит нагревание. Если нагревание происходит при постоянном объеме, то: , где, т.е. все сообщаемое количество теплоты идет на изменение внутренней энергии системы. Изменение внутренней энергии смеси газа определяется формулой:, гдеi1 и i2 – число степеней свободы первого и второго газов.
Окончательно получим: . (1)
Если нагревание происходит при постоянном давлении, то
, (2)
где , т.е. сообщаемое газу количество теплоты идет не только на изменение внутренней энергии, но и на работу по расширению газа. Работа при изобарическом расширении для каждого газа равна:;, поэтому:
.
Подставляя это значение в уравнение (2), получим:
.
Произведем вычисления:
Ответ: .
Задача 13. В цилиндре под поршнем находится водород, который имеет массу 0,02 кг и начальную температуру 27°С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершаемую газом. Изобразить процесс графически.
Дано: m = 0,02 кг Т1 = 27°С = 300 К М = 2 кг/кмоль i = 5 |
Решение: При адиабатном процессе температура и объем газа связаны соотношением: , где– отношение теплоемкостей газа при |
T2 - ? А - ? |
постоянном давлении и постоянном объеме. Для водорода γ = 1,4.
Отсюда выражение для конечной температуры Т2 будет:
.
Работа А1 газа при адиабатическом расширении равна изменению внутренней энергии:
.
(Дж).
Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде:
(Дж).
Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами. Полная работа, совершенная газом при описанных процессах, равна:
(Дж).
График процесса приведен на рисунке 1.
Ответ: 8,7 · 103 Дж.
Задача 14. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением р1 = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р3 = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и количество теплоты Q, переданное газу. Построить график процесса.
Дано: m = 2 кг М = 32 кг/моль V1 = 1 м3 р1 = р2 = 2·105 Мпа V2 = 3 м3 р3 = 5·105 Мпа R = 8,31·10 –3 Дж/(кмоль·К) |
Решение: Изменение внутренней энергии газа выражается формулой: , (1) где i – число степеней свободы молекул газа для двухатомных молекул кислорода (i = 5); М – молярная масса; R – молярная газовая постоянная. |
ΔU - ? А - ? Q - ? |
Начальную и конечную температуры найдем, используя уравнение Менделеева - Клайперона:
. (2)
Решая его относительно Т, получим: (3)
Подставляя в выражение (1) числовые значения входящих в него
величин, находим:
Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой: . Подставив числовые значения, получим:
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2 = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна: . Согласно первому началу термодинамики количество теплотыQ, переданное газу, равно сумме изменения внутренней энергии ΔU и работы А: , следовательно:.
График процесса приведен на рисунке 2.
Ответ: 3,65 МДж.
Задача 15. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества = 1 моль и находящийся под давлением Р1 = 0,1 МПа при температуре Т1 = 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления Р2 = 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширялся до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V1. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД .
Дано:
Р1= 0,1 Мпа = 1·105 Па Т1= 300 К Р2= 0,2 Мпа = 2·105 Па |
Решение: ВкоординатахР, V график цикла имеет следующий вид
|
T2 – ? Т3 – ? – ?
|
V1 V2 V |
Переход газа на участке 1-2 происходит изохорически при V1 = const. Давления и температуры газов в состояниях 1 и 2 связаны между собой соотношением:
=.
Отсюда T2 = 2Т1 = 600 K.
Так как переход газа 2-3 изотермический, то Т2 = Т3.
Термический КПД цикла определяется выражением
, (1)
где Q1 – количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл, Q2 – количество теплоты, отданное холодильнику за цикл.
Газ получает количество теплоты на участках 1-2 и 2-3
Q 1= Q 1-2 + Q 2-3,
где Q 1-2 = C v v (T 2 - T 1) – количество теплоты, полученное при изохорическом нагревании,
–количество теплоты, полученное при изотермическом расширении.
Газ отдает количество теплоты на участке 3-1 при изобарическом сжатии:
Q 3-1 = Q 2 = Cр
–молярная теплоемкость газа при V = const, C р – молярная теплоемкость газа при P = const.
Подставив значения Q 1 и Q 2, С v и С рв формулу (1) получим:
,
Ответ: T 2 = T 3 = 600 K, η = 9,9 %.
Задача16. Кислород массой 1 кг совершает цикл Карно. При изотермическом расширении газа его объём увеличивается в 2 раза, а при последующем адиабатическом расширении совершается работа 3000 Дж. Определить работу, совершенную за цикл.
Дано: V2 = 2V1 A2-3 = 3000 Дж i = 5 |
Решение: Идеальный цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат (рис. 3). |
А - ? |
На рисунке 3 участок 1-2 соответствует изотермическому расширению газа (Т1 = Т2), участок 2-3 – адиабатическому расширению газа, участок 3-4 – изотермическому сжатию (Т3 = Т4) и участок 4-1 – адиабатическому сжатию.
При изотермическом расширении внутренняя энергия идеального газа остается постоянной, следовательно, все подводимое тепло Q1 идет на работу по расширению газа на участке 1-2, т.е.
(1)
При изотермическом сжатии на участке 3-4 Q2 тепло отдается холодильнику (Q2), и это количество теплоты определяется работой, затраченной на сжатие газа:
(2)
Состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате, поэтому можно записать:
(3)
Для состояний 4 и 1, которые отвечают одной адиабате, имеем:
(4)
Поделив выражение (3) на (4), получим:
, (5)
так как Т1 = Т2 и Т3 = Т4.
Работа при адиабатическом расширении на участке 2-3 равна:
(6)
Работа при адиабатическом сжатии на участке 4-1 равна:
.
Так как Т1 = Т2, а Т3 = Т4, то А2 - 3 = -А4 - 1, т.е. полная работа по адиабатическому сжатию и расширению равна нулю.
Следовательно, работа цикла: А = А1-2 – А3-4.
Из уравнений (1), (2) и (5) получим: (7)
Из уравнения (6) выразим разность температур Т2 – Т3, равную Т1 – Т3, и подставим в уравнение (7): . Произведем вычисления:.
Ответ: 831,6 Дж.
Задача 17. В результате изотермического расширения объем 8 г кислорода увеличился в 2 раза. Определить изменение энтропии газа.
Дано: M = 32 кг/кмоль V2 = 2V1
|
Решение: Изменение энтропии системы определяется по формуле: (1) где dQ – количества тепла, |
∆S - ? |
сообщенное газу, Т – абсолютная температура, S1 и S2 – значения энтропии в начальном и конечном состояниях системы.
При изотермическом расширении все подводимое количество теплоты идет на работу по расширению, т.е. dQ = dA = pdV.
Из уравнения Менделеева – Клапейрона: поэтому:
(2)
Подставляя выражение (2) в (1), получим:
Произведем вычисления:
Ответ: 1,44 Дж/град.
Задача 18. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы, и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.