Примеры решения типовых задач

Даны матрицы , найти .

Найти произведения квадратных матриц

Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти А^ТВ+С.

A^T = ; A^TB =  = = ;

C = ; тогда искомая матрица А^ТВ+С = + = .

При каких значениях переменных X, Y, Z, U ложна следующая формула:

X	Y	Z	U								1	2	3	*
0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1
0	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0	0	1	1	0	0	0	0	1	1
0	1	1	0	0	0	1	0	1	1	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0	1	1	1	0	0	0	1	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	0	1	1	1	1
1	0	1	1	0	1	0	0	0	0	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	1	0	0	1	0	0	0	1	1	1	1
1	1	1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	1	1	1	1

Три стрелка делают по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) все стрелки попадут в цель;

б) только один стрелок попадет в цель;

в) только два стрелка попадут в цель;

г) все стрелки промахнутся;

д) цель будет поражена.

Решение:

Обозначим: событие А – первый стрелок попадет в цель

B – второй стрелок попадет в цель

С – третий стрелок попадет в цель

События A, B, C – независимые.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Два консервных завода поставляют в магазин мясные и овощные консервы, причем первый завод поставляет продукции в три раза больше второго. Доля овощных консервов в продукции первого завода составляет 60%, а второго 70%. Для контроля в магазине взято наугад одно изделие.

а) Какова вероятность того, что это окажутся мясные консервы?

б) Взятое изделие оказалось мясными консервами. Какова вероятность, что оно изготовлено вторым заводом?

Решение. Обозначим: событие А – взяты мясные консервы;

событие Н₁ – изделие изготовлено I заводом;

событие Н₂ – изделие изготовлено II заводом.

По условию задачи первый завод поставляет продукции в три раза больше, чем второй, то есть Р(Н₁)  Р(Н₂) в три раза, или Р(Н₁) = 3  Р(Н₂).

Вероятность того, что консервы мясные, для первого завода составляет 40%, то есть , для второго завода 30%, то есть .

а) Учитывая, что событие А произойдет обязательно с одним из событий (гипотез) Н_i, образующих полную группу, применим формулу полной вероятности:

б) По условию событие А произошло, то есть взяты мясные консервы. Тогда вероятность гипотезы Н₂ – консервы изготовлены вторым заводом – находим по формуле Байеса

Котировки акций могут быть размещены в Интернете на трех сайтах. Материал есть на первом сайте с вероятностью 0,7, на втором – с вероятностью 0,6, на третьем – 0,8. Студент переходит к новому сайту только в том случае, если не найдет данных на предыдущем. Составить закон распределения числа сайтов, которые посетит студент.

Найти:

1) функцию распределения этой случайной величины и построить ее график;

2) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение:

Вероятность того, что студент нашел всю информацию с 1 сайта:

0,7*0,4*0,2+0,3*0,6*0,2+0,3*0,4*0,8=0,188

Вероятность того, что студент нашел всю информацию с 2х сайтов:

_{0,7*0,6*0,2+0,7*0,4*0,8+0,3*0,6*0,8=0,452}

Вероятность того, что студент нашел всю информацию с 3х сайтов:

_{0,7*0,8*0,6=0,336}

Вероятность того, что студент не нашел информацию ни с одного из сайтов:

_{1-0,336-0,452-0,188=0,024}

Х	0	1	2	3
р	0,024	0,188	0,452	0,336

1. _{F (x<0)=0 1 F(x)}

_{F(0<=x<1)=0.024}

_{F(1<=x<2)=0.212}

_{F(2<=x<3)=0.664}

_F(3<=x)=1

_{0 1 2 3 x}

2. _{M(x)=0*0.024+1*0.188+2*0.452+3*0.336=0.188+0.904+1.008=2.1}

_{D(x)=M(x2)–M2(x)=0*0.024+1*0.188+4*0.452+9*0.336-4.41=0.61}